Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\), có ba vị trí tương đối giữa \((\alpha)\) và \((\beta)\):

►   Định nghĩa: Hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

2. Một số định lý và tính chất.

►   Tính chất:

  • Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
  • Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((P)\) thì tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \((P)\).
  • Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
  • Nếu hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) song song thì mọi mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến của chúng song song với nhau.
  • Kí hiệu: \(\left\{ \begin{array}{l} (\alpha )//(\beta )\\ (\gamma ) \cap (\alpha ) = a\\ (\gamma ) \cap (\beta ) = b \end{array} \right. \Rightarrow a//b.\)

                                                           

►   Định lý 1: Nếu mặt phẳng \((\alpha)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(a,b\) mà \(a,b\) lần lượt song song với hai đường thẳng \(a',b'\) nằm trong mặt phẳng \((\beta)\) thì mặt phẳng \((\alpha)\) song song với mặt phẳng \((\beta)\). Kí hiệu: \(\left\{ \begin{array}{l} a,b \subset (\alpha )\\ a \cap b = O\\ a//a',b//b'\\ a',b' \subset (\beta ) \end{array} \right. \Rightarrow (\alpha )//(\beta ).\)

                                                      

   ►   Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia.

   Định lý 2: (Định lý Ta - let trong không gian) Ba mặt phẳng đối một song song chắc trên hai cắt tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Khi đó \(\dfrac{{{\rm{AA}}'}}{{BB'}} = \dfrac{{A'A''}}{{B'B''}} = \dfrac{{{\rm{AA}}''}}{{BB''}}.\)

                               

3. Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,N,I\) theo thứ tự là trung điểm của \(SA,SD\) và \(AB.\) Khẳng định nào sau đây đúng?

      A. \((NOM)\) cắt \((OPM).\)                                B. \((MON)//(SBC).\)

      C. \((PON)\cap{(MNP)}=NP.\)                        D. \((NMP)//(SBD).\)

Ví dụ 2: Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có các cạnh bên \(AA',BB',CC',DD'.\) Khẳng định nào dưới đây sai?

      A. \((AA'B'B)//(DD'C'C).\)                           B. \((BA'D')//(ADC').\)

      C. \(A'B'CD\) là hình bình hành.                     D. \(BB'D'D\) là một tứ giác.

Ví dụ 3: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SD\)\(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Chứng minh \((OMN)//(SBC).\)

Ví dụ 4: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(I\) là trung điểm của \(SD\) và \(J\) là một điểm trên \((ABCD)\) cách đều \(AB\) và \(CD.\) Chứng minh \(IJ//(SAB).\)

Ví dụ 5: Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'.\) Mặt phẳng \((AB'D')\) song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

      A. \((BCA').\)                                                   B. \((BC'D).\)

      C. \((A'C'C).\)                                                  D. \((BDA').\)