Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ.

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp.

  • Hàm số hằng \(y=c\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}.\)
  • Hàm số \(y=x\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(y'=1.\)
  • Hàm số \(y = {x^n}\left( {n \in \mathbb{N} ,n \ge 2} \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(y' = n.{x^{n - 1}}\);
  • Hàm số \(y = \sqrt x \) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(y' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}.\)

2. Các quy tắc tính đạo hàm.

  • \([\left( {u + v} \right)' = u' + v'\)
  • \(\left( {u - v} \right)' = u' - v'\)
  • \(\left( {uv} \right)' = u'v + u.v'\)
  • \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'.v - u.v'}}{{{v^2}}}\) hay \(\left( {\dfrac{1}{u}} \right)' = - \dfrac{{u'}}{{{u^2}}}\).

3. Đạo hàm của hàm hợp.

Cho hàm số \(y = f(u(x)) = f(u)\) với \(u = u(x).\)

Khi đó \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\)

Đạo hàm của các hàm thường gặp.

  • \(({x^\alpha })' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\)
  • \(({a^\alpha })' = \alpha .{u^{\alpha - 1}}.u'\)
  • \((\sqrt x )' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}.\)
  • \((\sqrt u )' = \dfrac{u}{{2\sqrt u }}\)
  • \((\sqrt[n]{u})' = \dfrac{{u'}}{{n.\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}}}}}\)
  • \((\sqrt[n]{x})' = \dfrac{1}{{n.\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\)

II. Một số dạng toán thường gặp.

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng các quy tắc đạo hàm.

Ví dụ 1: Đạo hàm của các hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + x + 1\)là:

A. \(y' = 4{x^3} - 6{x^2} + 1.\)                                         B. \(y' = 4{x^3} - 6{x^2} + x.\)

C. \(y' = 4{x^3} - 3{x^2} + x.\)                                         D. \(y' = 4{x^3} - 3{x^2} + 1.\)

Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = \dfrac{{ - {x^2} + 2x - 3}}{{x - 2}}.\) Đạo hàm \(y'\) của hàm số là biểu thức nào sau:

A. \( - 1 - \dfrac{3}{{{{(x - 2)}^3}}}.\)                                                B. \(1 + \dfrac{3}{{{{(x - 2)}^3}}}.\)

C. \( - 1 + \dfrac{3}{{{{(x - 2)}^3}}}.\)                                                D. \(1 - \dfrac{3}{{{{(x - 2)}^3}}}.\)

Ví dụ 3: Đạo hàm của hàm số \(y = - 2{x^7} + \sqrt x \) bằng biểu thức nào sau đây?

A. \( - 14{x^6} + 2\sqrt x .\)                                                 B. \(- 14{x^6} + \dfrac{2}{{\sqrt x }}.\)

C. \( - 14{x^6} + \dfrac{1}{{2\sqrt x }}.\)                                                D. \( - 14{x^6} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}.\)

Ví dụ 4: Cho hàm số \(f(x) = {(3{x^2} - 1)^2}.\) Giá trị \(f'(1)\) bằng:

A. \(4.\)                           B. \(8.\)                          C. \(-4.\)                             D. \(24.\)

Ví dụ 5:Cho hàm số \(y = 3{x^3} + {x^2} + 1.\)Để \(y' \le 0\) thì \(x\) nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây:

A. \(\left[ { - \dfrac{2}{9};0} \right].\)                                                 B. \(\left[ { - \dfrac{9}{2};0} \right].\)             

C. \(\left( { - \infty ; - \dfrac{9}{2}} \right] \cup \left[ {0; + \infty } \right).\)                            D. \(\left( { - \infty ; - \dfrac{2}{9}} \right] \cup \left[ {0; + \infty } \right).\)

Dạng 2: Đạo hàm của hàm hợp.

Ví dụ 1: Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\) Đạo hàm \(y'\) của hàm số là biểu thức nào sau đây?

A. \(\dfrac{x}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)                                     B. \(- \dfrac{x}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)

C. \(\dfrac{x}{{2({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)                                    D. \( - \dfrac{{x({x^2} + 1)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)

Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = f(x) = (1 - 2{x^2}).\sqrt {1 + 2{x^2}} .\)Ta xét hai mệnh đề sau:

(I) \(f'(x) = \dfrac{{ - 2x(1 + 6{x^2})}}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }}.\) 

(II) \(f(x).f'(x) = 2x(12{x^4} - 4{x^2} - 1).\)

Mệnh đề nào đúng:

A. Chỉ (II).                                                        B. Chỉ (I).

C. Cả hai đều sai.                                            D. Cả hai đều đúng.

Ví dụ 3: Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {\dfrac{{2x - 1}}{{x + 2}}} \) là:

A. \(y' = \dfrac{5}{{{{(2x - 1)}^2}}}\sqrt {\dfrac{{x + 2}}{{2x - 1}}} .\)                            B. \(y' = \dfrac{1}{2}.\dfrac{5}{{{{(2x - 1)}^2}}}.\sqrt {\dfrac{{x + 2}}{{2x - 1}}} .\)

C. \(y' = \dfrac{1}{2}.\sqrt {\dfrac{{x + 2}}{{2x - 1}}} .\)                                        D. \(y' = \dfrac{1}{2}.\dfrac{5}{{{{(x + 2)}^2}}}.\sqrt {\dfrac{{x + 2}}{{2x - 1}}} .\)

Ví dụ 4: Đạo hàm của hàm số \(y = {({x^3} - 2{x^2})^{2016}}\) là:

A. \(y' = 2016.{({x^3} - 2{x^2})^{2015}}.\)                               B. \(y' = 2016.{({x^3} - 2{x^2})^{2015}}.(3{x^2} - 4x).\)

C. \(y' = 2016.({x^3} - 2{x^2}).(3{x^2} - 4x).\)                  D. \(y' = 2016({x^3} - 2{x^2})(3{x^2} - 2x).\)

Ví dụ 5: Đạo hàm của hàm số \(y = (2x - 1)\sqrt {{x^2} + x} \) là:

A. \(y' = 2\sqrt {{x^2} + x} - \dfrac{{4{x^2} - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}.\)                         B. \(y' = 2\sqrt {{x^2} + x} + \dfrac{{4{x^2} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }}.\)

C. \(y' = 2\sqrt {{x^2} + x} + \dfrac{{4{x^2} - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}.\)                          D. \(y' = 2\sqrt {{x^2} + x} + \dfrac{{4{x^2} + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}.\)