Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa phép vị tự

Cho điểm O và số \({\rm{k}} \ne {\rm{0}}\). Phép biến hình biến mỗi điểm \(M\) thành điểm \(M'\) sao cho \(\overrightarrow {OM'} = k.\overrightarrow {OM} \) được gọi là phép vị tự tâm \(O\), tỉ số \(k\).

  • Kí hiệu: \({V_{(O,k)}}\)

 

2. Tính chất phép vị tự

  • Phép vị tự tỉ số \( k\) biến hai điểm \(M, N\) thành \(M', N'\) thì \(\overrightarrow {M'N'} = k.\overrightarrow {MN} \) và \(M'N' = \left| k \right|.MN\)
  • Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm
  • Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng nhau
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
  • Biến tam giác thành tam giác đồng dạng, biến góc thành góc bằng nhau
  • Biến đường tròn, bán kính \(R\) thành đường tròn có bán kính \(\left| k \right|.R\)

 

3. Ví dụ

Một số hình ảnh minh họa

phep vi tu phep vi tu mathplus

 

II. Một số dạng toán thường gặp

Phương pháp: Xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng, đường tròn qua phép vị tự.

- Xác định điểm: M'(x';y') là ảnh của M(x;y) qua phép vị tự điểm O(a;b), tỉ số k

\(\left\{ \begin{array}{l} x' = kx + (1 - k)a\\ y' = ky + (1 - k)b \end{array} \right.\)

- Xác định đường thẳng: Dựa vào tính chất phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song. Sau đó, tìm một điểm

- Xác định đường tròn: Dựa vào tính phép vị tự biến đường tròn, bán kính \(R\) thành đường tròn có bán kính \(\left| k \right|.R\)

 

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho các điểm \(M(1;1)\). Hãy xác định tọa độ \(M'\) là ảnh của \(M\) qua phép vị tự tâm \(O\), tỉ số \(k=2\) (\(O\) là gốc tọa độ). Đáp án nào sau đây là đúng.

A. \(M'(0;1)\). B. \(M'(1;0)\). C. \(M(-1;-1)\). D. \(M(-1;1)\).

Ví dụ 2: Cho phương trình đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\). Phương trình đường tròn \((C')\) là ảnh của \((C)\) qua phép vị tự tâm \(I(1;2)\) tỉ số \(k = - 2\) là:

A. \((C'):{\left( {x - 1} \right)^2} + {(y - 10)^2} = 4\).
B. \((C'):{\left( {x - 1} \right)^2} + {(y - 10)^2} = 16\).
C. \((C'):{\left( {x + 1} \right)^2} + {(y - 10)^2} = 4\).
D. \((C'):{\left( {x + 1} \right)^2} + {(y - 10)^2} = 16\).

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng d có phương trình \(5x+2y+7=0\). Hãy xác định phương trình \(d'\) là ảnh của d qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k=-2\).

A. \((d'):5x + 2y + 14 = 0\).
B. \((d'):5x + 2y - 14 = 0\).
C. \((d'):5x - 2y + 14 = 0\).
D. \((d'):2x -5y + 14 = 0\).

Ví dụ 4: Cho hai đường tròn \((C)\)\({\left( {x - 2} \right)^2} + {(y - 1)^2} = 4\)và (\(C')\)\((x - 8) + {(y - 4)^2} = 16\). \((C')\) là ảnh của \((C)\) qua phép vị tự tâm \(I\), tỉ số \(k\). Xác định tọa độ tâm vị tự \(I\) và tỉ số \(k\) (biết rằng \(k>0\))

A. \(I(4;2);k = 2\). B. \(I(-4;-2);k = 2\).
C. \(I(-4;2);k = 2\). D. \(I(4;-2);k = 2\).