Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cơ bản

1. Phương trình lượng giác cơ bản

► \(\sin x = \sin \alpha \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\) (\(k \in Z\))

► \(\cos x = \cos \alpha \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \ - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\) (\(k \in Z\))

► \(\tan x = \tan \alpha \) \( \Leftrightarrow \)  \(x = \alpha + k\pi \) (\(k \in Z\))

► \(\cot x = \cot \alpha \) \( \Leftrightarrow \)  \(x = \alpha + k\pi \) (\(k \in Z\))

 

2. Phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\)

► \(a\sin x + b\cos x = c\)

Điều kiện phương trình có nghiệm là: \({c^2} \le {a^2} + {b^2}\)

 

3. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

► \({\rm{a}}{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0\) (\(a \ne 0\))

► \({\rm{a}}{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0\) (\(a \ne 0\))

► \({\rm{a}}{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\) (\(a \ne 0\) và \(\cos x \ne 0\))

► \({\rm{a}}{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0\) (\(a \ne 0\) và \(\cos x \ne 0\))

 

II. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

a) Phương trình \(sinx\) có dạng:

\(a\sin x + b = 0\) (\(a \ne 0\)

\(\sin x = \dfrac{{ - b}}{a}\) \( \Leftrightarrow \sin x = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\alpha \)  (với \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\alpha = \dfrac{{ - b}}{a}\))

 \(\sin x = \sin \alpha \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\) (\(k \in Z\))

b)  Phương trình \(cosx\) có dạng:

\(a\cos x + b = 0\) (\(a \ne 0\))

\(\cos x = \dfrac{{ - b}}{a}\) \( \Leftrightarrow \cos x{\rm{ = cos}}\alpha \) (với \({\rm{cos}}\alpha = \dfrac{{ - b}}{a}\))

 \(\cos x = \cos \alpha \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \ - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\) (\(k \in Z\))

c)  Phương trình \(tanx\) có dạng:

\(a\tan x + b = 0\) (\(a \ne 0\) và \(\cos x \ne 0\))

\(\tan x = \dfrac{{ - b}}{a}\) \( \Leftrightarrow \tan x{\rm{ = tan}}\alpha \) (với \({\rm{tan}}\alpha = \dfrac{{ - b}}{a}\))

\(\tan x = \tan \alpha \) \( \Leftrightarrow \)  \(x = \alpha + k\pi \) (\(k \in Z\))

d)  Phương trình \(cotx\) có dạng:

\(a\cot x + b = 0\) (\(a \ne 0\) và \(\sin x \ne 0\))

\(\cot x = \dfrac{{ - b}}{a}\) \(\Leftrightarrow \cot x{\rm{ = cot}}\alpha \) ( với \({\rm{cot}}\alpha = \dfrac{{ - b}}{a}\))

 \(\cot x = \cot \alpha \) \( \Leftrightarrow \)  \(x = \alpha + k\pi \) (\(k \in Z\))

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

b) \(2\cos 3x - \sqrt 3 = 0\)

c) \(\tan (x + \dfrac{\pi }{6}) - 1 = 0\)

d) \({\rm{cos}}\left( {x{\rm{ + 3}}{{\rm{0}}^o}} \right) + 2{\cos ^2}{15^o} = 1\)

Ví dụ 2: Cho phương trình \(\cos x = c{\rm{os(}}x{\rm{ - }}\frac{\pi }{6})\) .

a) Phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\).

b) Phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm dương trong khoảng \((0;4\pi )\)

 


Dạng 2: Phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\)

Phương pháp:

Bước 1: Xét \({c^2} \le {a^2} + {b^2}\)

Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) ta được:

\(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Bước 3: Đặt  \(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = c{\rm{os}}\alpha \) suy ra \(\dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \) Khi đó:

 \(\sin (x + \alpha ) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Một số ví dụ thường gặp

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a) \(\sqrt 3 \sin x + \cos x{\rm{ = }}\sqrt 2 \).

b) \(\cos x{\rm{ - sin}}x{\rm{ = }}\sqrt 2 \).

Ví dụ 2: Giải các phương trình lượng giác sau
a) \(\sqrt 3 {\rm{cos}}\left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right) + \sin (x - \dfrac{\pi }{2}) = 2\sin x\)

b) \(\sqrt 3 \sin 3x + \cos 3x = 2cos2x\).

Ví dụ 3: Cho phương trình \(m\sin x + (1 - m)\cos x = 5\) 

a) Với giá trị nào của m phương trình có nghiệm

b) Giải phương trình với \(m =2\)

 

Dạng 3: Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác

Phương pháp:  \({\rm{a}}{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0\) (\(a \ne 0\)) Tương tự với \(\cos x,\tan x,\cot \) 

Bước 1: Đặt \(\sin x = t\) . Điều kiện \(- 1 \le t \le 1\).

Khi đó phương trình trở thành: \(a{t^2} + bt + c = 0\)

Bước 2: Giải phương trình bậc hai. Giải \(\sin x = t\) như trong dạng 1.

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các phương trình lượng giác sau

a) \(2{\sin ^2}(2x - \dfrac{\pi }{6}) + 7\sin (\dfrac{\pi }{6} - 2x) + 3 = 0\)

b) \({\tan ^2}x - (1 + \sqrt 3 )\tan x + \sqrt 3 = 0\)

Ví dụ 2: Giải phương trình: \({\sin ^2}x + \sin 2x - 3{\cos ^2}x = 0\)với \(x \in (0;\dfrac{\pi }{2})\)

Ví dụ 3: Giải phương trình: \(\sqrt {\sin x(1 + \sin x)} = \cos x\).