Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I.Kiến thức cơ bản cần nhớ

1. Quy tắc cộng xác suất

Biến cố hợp

Cho hai biến cố A và B. Biến cố  "A hoặc B xảy ra", kí hiệu là \(A \cup B\) được gọi là hợp của hai biến cố A và B. Khi đó: \(\Omega_A \cup \Omega_B \subset \Omega.\)

Biến cố xung khắc

Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Khi đó \(\Omega_A \cap \Omega_B = \emptyset.\)

Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc:

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì xác suất của biến cố \(A \cup B\) là \(P(A \cup B)=P(A) +P(B).\)

Cho n biến cố \(A_1,A_2,...,A_n\) đôi một xung khắc với nhau. Khi đó:

                                                 \(P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n)=P(A_1) + P(A_2)+...+P(A_n).\)

Biến cố đối:

Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố "không A", kí hiệu \(\overline A,\) được gọi là biến cố đối của A. Ta nói A và \(\overline A\) là hai biến cố của nhau.

Khi đó:     

                                                 \(\Omega_{\overline A}=\Omega \backslash \Omega_A \Rightarrow P(\overline A) = 1-P(A).\) 

2. Quy tắc nhân xác suất

Biến cố giao

Giao hai biến cố A và B. Biến cố "A và B cùng xảy ra", kí hiệu \(A \cap B\) (hay AB), được gọi là giao của hai biến cố A và B.

Hai biến cố độc lập

Hai biến cố được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng xác suất xảy ra của biến cố kia.

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì A và \(\overline B\)\(\overline A\) và \(\overline B\) cũng là độc lập.

Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập

Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì ta luôn có P(AB) = P(A).P(B).

Cho n biến cố \(A_1,A_2,...,A_n\) độc lập với nhau từng đôi một. Khi đó

                                             \(P(A_1 .A_2 ... A_n)=P(A_1) .P(A_2)...P(A_n).\)

II.Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném trúng bóng vào rổ của từng người tương ứng là \(\dfrac{1}{5}\) và \(\dfrac{2}{7}\)Gọi A là biến cố: "Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ". Khi đó xác suất của biến cố A là bao nhiêu?

A. \(\dfrac{12}{35}.\)                                  B. \(\dfrac{1}{25}.\)                                  C. \(\dfrac{4}{49}.\)                                    D. \(\dfrac{2}{35}.\)

Ví dụ 2: Ba người cùng bắn vào một bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng đích lần lượt là 0,8; 0,6; 0,5. Tính xác suất để có đúng hai người bắn trúng đích.

A. \(0,24.\)                                B. \(0,96.\)                                C. \(0,46.\)                                  D. \(0,92.\)

Ví dụ 3: Bài kiểm tra môn Toán có 20 câu trắc nghiệm khách quan. Mỗi câu có 4 lựa chọn và chỉ có một phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bằng cách lựa chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để học sinh đó trả lời sai cả 20 câu.

A. \((0,25)^{20}.\)                           B. \(1-(0,75)^{20}.\)                      C. \(1-(0,25)^{20}.\)                      D. \((0,75)^{20}.\)

Ví dụ 4: Hai xạ thủ A và B cùng bắn vào một tấm bia mỗi người mỗi phát. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ A là 0,7. Tìm xác suất bắn trúng bia của xạ thủ  B biết xác suất có ít nhất một người bắn trúng bia là 0,94.

A. \(0,25.\)                                B. \(0,45.\)                                   C. \(0,8.\)                                  D. \(0,12.\)

Ví dụ 5: Trong một kì thi có 60% thí sinh đỗ. Hai bạn A, B cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là:

A. \(0,24 .\)                                B. \(0,36 .\)                                   C. \(0,16 .\)                                D. \(0,48 .\)