Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I - Kiến thức cơ bản cần nhớ.

1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

Khoảng cách giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \((P)\) song song với \(a\) là khoảng cách từ một điểm nào đó thuộc \(a\) đến mặt phẳng \((P).\) Kí hiệu: \(d(a,(P))=d(A,(A))\) trong đó \(A\) là một điểm nào đó nằm trên đường thẳng \(a\).

                                                  

2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì từ mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu: \(d((P),(Q))=d(A,(P))=d(B,(Q))\) trong đó \(A\) là một điểm nào đó nằm trong \((Q)\) và \(B\) là một điểm nào đó nằm trong \((P).\)

                                                      

II - Một số dạng toán thường gặp.

Dạng 1: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

Ví dụ 1: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\bot{(ABCD)}\), đáy \(ABCD\) là hình thang vuông cạnh \(a\). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(IJ\) và \((SAD)\).

      A. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)                    B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)                     C. \(\dfrac{{a}}{2}.\)                         D. \(\dfrac{{a}}{3}.\)

Ví dụ 2: Cho hình thang vuông \(ABCD\) vuông ở \(A\) \(D\)\(AD=2a.\) Trên đường thẳng vuông góc tại \(D\) với \((ABCD)\) lấy điểm \(S\) với \(SD=a\sqrt2.\) Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(DC\) và \((SAB)\).

      A. \(\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\)                     B. \(\dfrac{{a}}{{\sqrt 2 }}.\)                       C. \(a\sqrt2.\)                      D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

Ví dụ 3: Cho hình chóp \(O.ABC\) có đường cao \(OH = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\). Gọi \(M\) \(N\) lần lượt là trung điểm của \(OA\) và \(OB\). Khoảng cách giữa đường thẳng \(MN\) và \((ABC)\) bằng: 

      A. \(\dfrac{{a}}{2}.\)                       B. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)                      C. \(\dfrac{{a}}{3}.\)                          D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(AB=SA=2a.\) Khoảng cách từ đường thẳng \(AB\) đến \((SCD)\) bằng bao nhiêu?

      A. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)                 B. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)                       C. \(\dfrac{{a}}{2}.\)                          D. \(a.\)

Ví dụ 5: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\bot{(ABCD)}\), đáy \(ABCD\) là hình thang vuông có chiều cao \(AB=a\). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CB\). Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(IJ\) và \((SAD).\)

      A. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)                  B. \(\dfrac{{a}}{2}.\)                           C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)                   D. \(\dfrac{{a}}{3}.\)

Dạng 2:  Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Ví dụ 1:  Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh đáy bằng \(a\). Gọi \(M, N, P\) lần lượt là trung điểm của \(AD, DC, A'D'\). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((MNP)\) và \((ACC′)\).

      A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)                  B. \(\dfrac{{a}}{4}.\)                            C. \(\dfrac{{a}}{3}.\)                      D. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}.\)

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng \(60^0\), đáy \(ABC\) là tam giác đều và \(A'\) cách đều \(A, B, C\). Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

      A. \(a.\)                       B. \(a\sqrt2.\)                         C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)                 D. \(\dfrac{{2a }}{3}.\)

Ví dụ 3:  Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A_1B_1C_1\) có cạnh bên bằng \(a\). Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc \(60^0.\). Hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \((A_1B_1C_1)\) là trung điểm của \(B_1C_1\). Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?

      A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)               B. \(\dfrac{{a}}{3}.\)                              C. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)                   D. \(\dfrac{{a}}{2}.\)

Ví dụ 4: Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D' \) có cạnh bằng \(a\). Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((CB′D′)\) và \((BDA′)\) bằng

      A. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)              B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)                          C. \(\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)                 D. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)

Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB=4,AD=3\). Mặt phẳng \((ACD′)\) tạo với mặt đáy một góc \(60^0\). Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.

      A. \(\dfrac{{6\sqrt 3 }}{5}.\)             B. \(\dfrac{{12\sqrt 3 }}{5}.\)                         C. \(\dfrac{{4\sqrt 3 }}{5}.\)                    D. \(\dfrac{{5\sqrt 3 }}{3}.\)