Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I - Kiến thức cơ bản cần nhớ

1. Định nghĩa

►   Vecto là đoạn thẳng có hướng.

  • Một điểm được xác định là điểm gốc (điểm đầu), còn điểm kia là điểm ngọn (điểm cuối).
  • Hướng từ điểm gốc đến điểm ngọn là hướng của vecto.
  • Độ dài của đoạn thẳng được gọi là độ dài của vecto.

►   Kí hiệu: 

  • Vecto có điểm gốc \(A\), điểm ngọn \(B\) kí hiệu là \(\overrightarrow {AB} .\) Vecto còn kí hiệu là: \(\overrightarrow {a},\overrightarrow {b},\overrightarrow {x},\overrightarrow {y},... \)

                                          

  • Độ dài vecto \(\overrightarrow {AB} \) kí hiệu là \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\)
  • Đường thẳng \(AB\) gọi là giá của vecto \(\overrightarrow {AB} .\)

►   Vecto - không kí hiệu \(\overrightarrow 0 \) là vecto:

  • Có điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau.
  • Có hướng bất kì.
  • Độ dài bằng \(0.\)

2. Vecto cùng phương, cùng hướng

►   Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

  • Kí hiệu: \(\overrightarrow {AB} //\overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} AB//CD\\ A,B,C,D\text{ thẳng hàng } \end{array} \right.\)
  • Hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng phương có thể chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

►   Hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} //\overrightarrow {CD} \\ \text{Tia }AB,CD\text{ cùng hướng} \end{array} \right.\)

►   Hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} //\overrightarrow {CD} \\ \text{Tia }AB,CD\text{ ngược hướng} \end{array} \right.\)

3. Vecto bằng nhau, đối nhau

►   Hai vecto được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Kí hiệu: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB = CD\\ \overrightarrow {AB}\text{ cùng hướng } \overrightarrow {CD} \end{array} \right.\)

►   Hai vecto được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài.

Kí hiệu: \(\overrightarrow {AB} =- \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB = CD\\ \overrightarrow {AB}\text{ ngược hướng } \overrightarrow {CD} \end{array} \right.\)

II - Một số dạng toán thường gặp

Ví dụ 1: Cho \(7\) điểm không thẳng hàng, có thể xác định được bao nhiêu vecto khác vecto không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trên?

      A. \(21.\)                              B. \(42.\)                            C. \(12.\)                              D. \(7.\)

Ví dụ 2: Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,CD,DA\). Khẳng định nào sau đây là sai?

      A. \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} .\)               B. \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| {\overrightarrow {QP} } \right|.\)         C. \(\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {NP} .\)                D. \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\)

Ví dụ 3: Cho ba điểm \(M,N,P\) thẳng hàng, trong đó điểm \(N\) nằm giữa hai điểm \(M\) và \(P.\) Khi đó các cặp vecto nào sau đây cùng hướng?

      A. \(\overrightarrow {MP} \)  \(\overrightarrow {PN} .\)             B. \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {PN} .\)            C. \(\overrightarrow {NM} \)  \(\overrightarrow {NP} .\)              D. \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {MP} .\)

Ví dụ 4: Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,AC\) của tam giác đều \(ABC.\) Hỏi cặp vecto nào sau đây cùng hướng?

      A. \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {CB} .\)           B. \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {MB} .\)               C. \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} .\)               D. \(\overrightarrow {AN} \) và \(\overrightarrow {CA} .\)

Ví dụ 5: Cho tam giác đều \(ABC.\) Nhận định nào sau đây là sai:

      A. \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\)         B. \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\)            C. \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} .\)                  D. \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} \) không cùng phương.