Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Đường tròn lượng giác

Đường tròn lượng giác hay còn gọi là đường tròn đơn vị, với bán kính bằng 1 với gốc là \(A(1;0)\)

Các trục lượng giác

► Trục \(sin\) là trục tung \(Oy\)

► Trục \(cos\) là trục hoành \(Ox\)

gia tri luong giac mathplus

2. Tính chất

► \(\sin \alpha {\rm{, cos}}\alpha \) luôn xác định với mọi giá trị của \(\alpha \).

► \(\sin \alpha {\rm{, cos}}\alpha \) thuộc đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)

► \(\tan \alpha \) xác định với \(\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)\(\cot \alpha \) xác định với \(\alpha \ne k\pi \) (\(k \in Z\)).

► \(\sin \alpha = \sin (\alpha + k2\pi )\)\({\rm{cos}}\alpha = c{\rm{os}}(\alpha + k2\pi )\)

► \({\rm{tan}}\alpha = \tan (\alpha + k\pi )\)\({\rm{cot}}\alpha = \cot (\alpha + k\pi )\)

 

3. Các hệ thức lượng giác cơ bản

a) Tính chất góc

Đối nhau:

\(\sin ( - \alpha ) =- sin\alpha \)

\(tan( - \alpha ) = - tan\alpha \)

\({\rm{cos}}( - \alpha ) = c{\rm{os}}\alpha \)

\(cot( - \alpha ) = - \cot \alpha \)

Bù nhau

\(\sin (\pi - \alpha ) = \sin \alpha \)

\(\tan (\pi - \alpha ) = - tan\alpha \)

\({\rm{cos}}(\pi - \alpha ) = - c{\rm{os}}\alpha \)

\(\cot (\pi - \alpha ) = - \cot \alpha \)

Phụ nhau

\({\rm{sin}}(\frac{\pi }{2} - \alpha ) = c{\rm{os}}\alpha \)

\(tan(\frac{\pi }{2} - \alpha ) = \cot \alpha \)

\({\rm{cos}}(\frac{\pi }{2} - \alpha ) = \sin \alpha \)

\(\cot (\frac{\pi }{2} - \alpha ) = \tan \alpha \)

 

b) Hệ thức lượng giác cơ bản

\({\sin ^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1\) \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\)
\(\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}\) \(\cot \alpha = \dfrac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }}\)
\(1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}\) \(1 + {\cot ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)

 

II. Một số dạng toán thường gặp

Phương pháp:

Sử dụng các công thức đã nêu ở trên

Xác định góc và giá trị lượng giác trên đường tròn đơn vị.

 

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho \(\alpha \in \left[ {0;2\pi } \right]\) . Với giá trị nào của \(\alpha \) thì \(\sqrt {{{\sin }^2}\alpha } = - \sin \alpha \).

A. \(\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]\) B. \(\alpha \in \left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\)
C. \(\alpha \in \left[ {\pi ;2\pi } \right]\) D. \(\alpha \in \left[ {0;2\pi } \right]\)

Ví dụ 2: Cho \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\) với \(\alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) . Chọn đáp án đúng dấu trong các đáp án dưới đây.

A. \(\sin (\alpha + \frac{\pi }{4}) \ge 0\) B. \(\sin (\alpha + \frac{\pi }{4}) > 0\)
C. \(\sin (\alpha + \frac{\pi }{4}) \le 0\) D. \(\sin (\alpha + \frac{\pi }{4}) < 0\)

Ví dụ 3: Cho \({\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}-\dfrac{{ 3}}{5}\). Biết \(\alpha \in (\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2})\). Khi đó giá trị của \(sin\alpha \) là:

A. \(sin\alpha = \frac{3}{5}\) B. \(sin\alpha = \frac{{ - 3}}{5}\)
C. \(sin\alpha = \frac{4}{5}\) D. \(sin\alpha = \frac{{ - 4}}{5}\)

Ví dụ 4: Cho \(P = {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}{60^0} + {\sin ^2}{65^0}\). Giá trị của P là:

A. \(P = \frac{7}{4}\) B. \(P = \frac{{ - 7}}{4}\) C. \(P = \frac{4}{7}\) D. \(P = \frac{{ - 4}}{7}\)

Ví dụ 5: Cho \({\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{1}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(M = \dfrac{{\tan \alpha + 2\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}\).

A. \(M = \frac{1}{9}\) B. \(M = \frac{{10}}{9}\) C. \(M = \frac{{ - 1}}{9}\) D. \(M = \frac{{ - 10}}{9}\)