Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I - Kiến thức cơ bản cần nhớ

1. Tổng của hai vecto

►   Định nghĩa: Phép cộng \(2\) vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là vecto \(\overrightarrow a +\overrightarrow b\), được xác định tùy theo vị trí của \(2\) vecto này. Có ba trường hợp:

   \(\overrightarrow a +\overrightarrow b\) nối đuôi    \(\overrightarrow a +\overrightarrow b\) cùng điểm gốc    \(\overrightarrow a +\overrightarrow b\) là tổng \(2\) vecto bất kì

 

   

 

   Tính chất:

  • Giao hoán: \(\overrightarrow a +\overrightarrow b=\overrightarrow b+\overrightarrow a.\)
  • Kết hợp: \(\left(\overrightarrow a +\overrightarrow b\right)+\overrightarrow c=\overrightarrow a+\left(\overrightarrow b +\overrightarrow c\right).\)
  • Tính chất vecto - không: \(\overrightarrow a +\overrightarrow 0=\overrightarrow a,\: \forall\overrightarrow a.\)

2. Các qui tắc

►   Qui tắc ba điểm:

  • Với ba điểm bất kì \(A,B,C\) ta có: \(\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {AC}.\)
  • Mở rộng qui tắc ba điểm cho \(n\) điểm \(A_1,A_2,....,A_n\) thì: \(\overrightarrow {A_1A_2} +\overrightarrow {A_2A_3}+....+\overrightarrow {A_{n-1}A_n}=\overrightarrow {A_1A_n}.\)

►   Qui tắc hình bình hành:

  • Cho hình bình hành \(ABCD\) thì \(\left[ \begin{array}{l} \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \\ \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} \end{array} \right.\) và \(\left[ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \\ \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)

                               

  • Qui tắc hình bình hành dùng để cộng các vecto chung gốc.
   ►   Phép cộng vecto không phải là phép cộng độ dài các vecto.

3. Các điểm đặc biệt

►   Trung điểm: Cho \(I\) là trung điểm \(AB\) và một điểm \(M\) bất kì, khi đó: 

  • \(\overrightarrow {IA} +\overrightarrow {IB}=\overrightarrow {0}.\)
  • \(\overrightarrow {MA} +\overrightarrow {MB}=2\overrightarrow {MI}\) (với \(M\) là điểm tùy ý).

►   Trọng tâm: Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(M\) là một điểm bất kì, khi đó:

  • \(\overrightarrow {GA} +\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {0}.\)
  • \(\overrightarrow {MA} +\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC}=3\overrightarrow {MG}\) (với \(M\) là điểm tùy ý).

4. Hiệu của hai vecto

►   Hiệu của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b\) là tổng của vecto \(\overrightarrow a \) và vecto đối của vecto \(\overrightarrow b\).

Kí hiệu: \(\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}=\overrightarrow {a}+\left(-\overrightarrow {b}\right).\)

►   Qui tắc về hiệu vecto: Cho \(A,B,C\) tùy ý, ta có \(\overrightarrow {CB} -\overrightarrow {CA}=\overrightarrow {AB}.\)

II - Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Bài toán về tổng hai vecto

Ví dụ 1: Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BC,CA,AB.\) Hệ thức nào đúng?

      A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} .\)              B. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {BD} .\)

      C. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} .\)             D. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} .\)

Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) là trung điểm của \(BC\)\(I\) là trung điểm của \(AM\). Khẳng định nào sau đây đúng?

      A. \(\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 .\)                                     B. \(\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 .\)

      C. \(2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 .\)                                     D. \(\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 .\)

Ví dụ 3: Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). Khi đó \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \)

      A. \(a\sqrt3.\)                       B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)                           C. \(2a.\)                           D. \(a.\)

Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật \(ABCD\) biết \(AB=4a\) và \(AD=3a\), độ dài \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) là:

      A. \(7a.\)                         B. \(6a.\)                                C. \(2a\sqrt3.\)                      D. \(5a.\)

Ví dụ 5: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB=AC=a\) và \(\widehat{BAC}=120^0.\) Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| .\)

      A. \(a\sqrt3.\)                      B. \(a.\)                                  C. \(\dfrac{a}{2}.\)                           D. \(2a.\)

Dạng 2: Bài toán về hiệu hai vecto

 

Ví dụ 1: Cho tam giác \(ABC\) và một điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} -\overrightarrow {MB}-\overrightarrow {MC}=\overrightarrow {0}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

      A. \(M\) là trung điểm của \(BC.\)                                B. \(M\) là trung điểm của \(AB.\)

      C. \(M\) là trung điểm của \(AC.\)                               D. \(ABMC\) là hình bình hành.

Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật \(ABCD\) tâm \(O\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

      A. \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow 0 .\)                                    B. \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {DA}= \overrightarrow 0 .\)

      C. \( \overrightarrow {AD}- \overrightarrow {DA}= \overrightarrow {0}.\)                                              D. \( \overrightarrow {OA}+ \overrightarrow {BC}+ \overrightarrow {DO}= \overrightarrow {0}.\)

Ví dụ 3: Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại đỉnh \(A\), đường cao \(AH.\) Khẳng định nào sau đây sai?

      A. \(\left| {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HC} } \right|.\)                            B. \(\overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AC} .\)

      C. \(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {HC} - \overrightarrow {HA} .\)                                 D. \(\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AH} } \right|.\)

Ví dụ 4: Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\). Vecto \(\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {DO} \) bằng vecto nào?
      A. \(\overrightarrow {BA} .\)                            B. \(\overrightarrow {BC} .\)                          C. \(\overrightarrow {DC} .\)                         D. \(\overrightarrow {AC} .\)

Ví dụ 5: Cho \(4\) điểm bất kì \(A,B,C,D.\) Đẳng thức nào sau đây đúng?

      A. \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {DA} .\)                                  B. \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {AD} .\)

      C. \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {DA} .\)                                  D. \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {BC} .\)