Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Công thức cộng

\(sin(a + b) = \sin a.{\mathop{\rm cosb}\nolimits} + \sin b.\cos a\) \(sin(a - b) = \sin a.{\mathop{\rm cosb}\nolimits} - \sin b.\cos a\)
\({\rm{cos}}(a + b) = c{\rm{os}}a.{\mathop{\rm cosb}\nolimits} - {\mathop{\rm sina}\nolimits} .sinb\) \({\rm{cos}}(a - b) = c{\rm{os}}a.{\mathop{\rm cosb}\nolimits} + {\mathop{\rm sina}\nolimits} .sinb\)
\({\rm{tan}}(a + b) = \dfrac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\) \({\rm{tan}}(a - b) = \dfrac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\)

 

2. Công thức nhân đôi, hạ bậc

a) Công thức nhân đôi

\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .c{\rm{os}}\alpha \)

\(cos2\alpha = 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha - 1 = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = co{s^2} - {\sin ^2}\alpha \)

\(\tan 2\alpha = \dfrac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\)

b) Công thức hạ bậc

\({\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1 - c{\rm{os2}}\alpha }}{2}\)

\(co{s^2}\alpha = \dfrac{{1 + c{\rm{os2}}\alpha }}{2}\)

\({\tan ^2}\alpha = \dfrac{{1 - cos2\alpha }}{{1 + cos2\alpha }}\)

 

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

\(cosa.c{\rm{os}}b = \frac{1}{2}\left[ {cos\left( {a + b} \right) + cos\left( {a - b} \right)} \right]\)

\(sina.sinb = - \frac{1}{2}\left[ {cos\left( {a + b} \right) - cos\left( {a - b} \right)} \right]\)

\(sina.c{\rm{os}}b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\)

 

4. Công thức tổng thành tích

\(\cos a + \cos b = 2cos\dfrac{{a + b}}{2}.cos\dfrac{{a - b}}{2}\) \(\cos a - \cos b = - 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}.\sin \dfrac{{a - b}}{2}\)
\(sina + sinb = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}.cos\dfrac{{a - b}}{2}\) \(sina - sinb = 2c{\rm{os}}\dfrac{{a + b}}{2}.sin\dfrac{{a - b}}{2}\)
\({\rm{tana + tanb = }}\dfrac{{\sin (a + b)}}{{\cos a.\cos b}}\) \({\rm{tana - tanb = }}\dfrac{{\sin (a - b)}}{{\cos a.\cos b}}\)

 

II. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính giá trị lượng giác

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau:

a) \(A = \sin {22^0}30'.c{\rm{os20}}{{\rm{2}}^0}30'\)

b) \(B = \sin \frac{\pi }{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9} + \sin \frac{{7\pi }}{9}\)

Ví dụ 2: Cho \(\alpha ,\beta \) thỏa mãn biểu thức \(\sin \alpha + \sin \beta = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và \(cos\alpha + cos\beta = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Tính: \(cos(\alpha - \beta )\) và  \(\sin (\alpha - \beta )\).

Ví dụ 3: Cho \({\rm{cos2}}\alpha {\rm{ = }}\frac{3}{5}\) với \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\). Tính giá trị \(\sin \alpha \)\(cos\alpha \)\(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\)

 

Dạng 2: Chứng minh hệ thức

Ví dụ 1: Chứng minh các rằng:

a) \({\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha = \dfrac{3}{4} + \dfrac{{cos4\alpha }}{4}\)

b) \(sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4{\sin ^3}\alpha \)

c) \(cos3\alpha = 4co{s^3}\alpha - 3cos\alpha \)

Ví dụ 2: Cho \(\alpha \in \left( {0;\pi } \right)\). Chứng minh rằng: 

\(\sqrt {1 - cos\alpha } + \sqrt {1 + cos\alpha } = 2\sin \left( {\frac{\alpha }{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Ví dụ 3: Cho \(\alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và biểu thức \(A = \dfrac{{cos\alpha + cos2\alpha + cos3\alpha }}{{\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha }}\) với giá trị nào của \(\alpha \) thì \(A = 1\)