Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Lượng giác hóa

Điều kiện để lượng giác hóa:

Nếu \(\left| x \right| \le 1\) thì đặt \(x = \sin t\) hoặc \(x = cost\)

Nếu \(\left| x \right| \le r\) thì đặt \(x = r.\sin t\) hoặc \(x = r.cost\)

Nếu \({x^2} + {y^2} = 1\) thì đặt \(x = \sin t\) và \(y = cost\)

 

2. Chứng minh bài toán tam giác

Cho tam giác \(ABC\) gọi: 

► \(a,b,c\) lần lượt là ba cạnh đối diện với ba góc \( A, B, C\)

►​ \({m_a},{\rm{ }}{m_b},{\rm{ }}{m_c}\) là độ dài ba trung tuyến.

►​ \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\)

►​ \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)

►​ \(p\) là nửa chu vi của tam giác

Định lý hàm số cosin:

\(\begin{array}{l} {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\\ {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B\\ {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \end{array}\)

Định lý hàm số sin:

\(\dfrac{a}{{\sin a}} = \dfrac{b}{{\sin b}} = \dfrac{c}{{\sin }} = 2R\)

Công thức tính diện tích tam giác

\(S = \frac{1}{2}ab.\sin C = \dfrac{{abc}}{{4R}} = pr = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \).

Công thức trung tuyến

\({m_a} = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\)

 

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Lượng giác hóa giải phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức

Ví dụ 1: Cho \({x^2} + {y^2} = 1\) và \({u^2} + {v^2} = 1\). Chứng minh rằng:

a) \(\left| {x.u + y.v} \right| \le 1\)

b) \(\left| {x(u - v) + y(u + v)} \right| \le \sqrt 2 \)

Ví dụ 2: Giải bất phương trình \(\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} \le x\)

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: \(y = x + \sqrt {2 - {x^2}} \)

Ví dụ 4: Chứng minh bất đẳng thức sau:

 \(\dfrac{{ - 1}}{2} \le \dfrac{{(a + b)(1 - ab)}}{{(1 + {a^2})(1 + {b^2})}} \le \dfrac{1}{2}\)

 

Dạng 2: Giải bài toán tam giác

Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác \(ABC\) ta đều có.

a) \(\sin A + \sin B + {\mathop{\rm sinC}\nolimits} = 4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}\)

b) \({\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2(1 + \cos A.\cos B.\cos C)\)

Ví dụ 2: Với tam giác \(ABC\) nhọn. Chứng minh rằng:

\(\cot A + \cot B \ge 2\tan \frac{C}{2}\)

\(\sin A.\sin B \ge \cos C\)

Ví dụ 3: Tam giác \(ABC\) là tam giác gì nếu: \(\sin A = \dfrac{{\sin B + \sin C}}{{\cos B + \cos C}}\)