Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ

1. Mệnh đề

  • Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. Một câu khẳng định sai gọi là một mệnh đề sai, một câu khẳng định đúng gọi là một mệnh đề đúng.
  • Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

2. Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P:

  • Mệnh đề "Không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là \(\overline P\).
  • Nếu P đúng thì \(\overline P\) sai, nếu P sai thì \(\overline P\) đúng.

3. Mệnh đề kéo theo

Cho hai mệnh đề P và Q:

  • Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là  mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\).
  • Mệnh đề P \(\Rightarrow\) Q chỉ sai khi P đúng và Q sai

► Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng  \(P \Rightarrow Q\).  Khi đó: 

  •  P là giả thiết, Q là kết luận.
  •  P là điều kiện đủ để có Q.
  • Q là điều kiện cần để có P.

4. Mệnh đề đảo

Cho mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\). Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) được gọi là  mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\).

5. Hai mệnh đề tương đương

Cho hai mệnh đề P và Q.

  •  Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" được gọi là  mệnh đề tương đương và kí hiệu là \(P \Leftrightarrow Q\).

  •  Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) cùng đúng hoặc cùng sai.

► Chú ý: Nếu mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.

II. Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Các câu sau đây, có bao nhiêu mệnh đề đúng?

(1) Chạy ngay đi!

(2) Phương trình \(x^2 -3x +1=0\) vô nghiệm.

(3) 16 không là số nguyên tố.

(4) Hai phương trình \(x^2 - 4x + 3= 0\) và \(x^2 - \sqrt{x+3} +1 =0\) có nghiệm chung.

(4) Ba giờ sáng anh còn chưa ngủ, tương tư về em bao nhiêu cho đủ?

(5) U23 Việt Nam đoạt giải chơi đẹp nhất U23 Châu Á.

(7) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

(8) Một hình bình hành là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau

A. 4.                                B.  6.                                    C. 7.                                    D. 5.

Ví dụ 2: Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề: "Mọi động vật đều di chuyển" ?

A. Mọi động vật đều không di chuyển.   

B. Mọi động vật đều đứng yên.        

C. Có ít nhất một động vật không di chuyển.        

D. Có ít nhất một động vật di chuyển.

Ví dụ 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A. Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn.    

B. Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn.        

C. Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.        

D. Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.

Ví dụ 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. "Tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân".  

B. "Tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc là \(60^o\)".           

C. "Tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau".          

D. "Tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC có hai góc bằng \(60^o\)".  

Ví dụ 5: Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề: "Số 6 chia hết cho 2 và 3".

A. Số 6 chia hết cho 2 hoặc 3.   

B. Số 6 không chia hết cho 2 và 3.         

C. Số 6 không chia hết cho 2 hoặc 3.       

D. Số 6 không chia hết cho 2, chia hết cho 3.