Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ

1. Mệnh đề chứa biến

Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.

2. Kí hiệu \(\forall\) và \(\exists\)

  • Kí hiệu \(\forall\) đọc là với mọi, kí hiệu \(\exists\) đọc là tồn tại
  • Mệnh đề " \(\forall x \in X, P(x)\)", đọc là " Với mọi x thuộc X ta có P(x)".
  • Mệnh đề " \(\exists x \in X, P(x)\)", đọc là " Tồn tại x thuộc X để có P(x)".
  • Mệnh đề phủ định của mệnh đề "\(\forall x \in X, P(x)\)" là "\(\exists x \in X, \overline {P(x)}\)".
  •  Mệnh đề phủ định của mệnh đề "\(\exists x \in X, P(x)\)" là "\(\forall x \in X, \overline {P(x)}\)".

3. Định lý và chứng minh định lý

a) Định lý

  • Định lý là một mệnh đề đúng, nhiều định lý được phát biểu dưới dạng: "\(\forall x \in X, P(x) \Rightarrow Q(x)\)"  (1). Trong đó P(x) và Q(x) là các mệnh đề chứa biến, X là một tập hợp nào đó.
  • Chứng minh định lý là dùng suy luận và những kiến thức đã biết để khẳng định rằng mệnh đề (1) là đúng, tức là cần chứng tỏ rằng với mọi x thuộc X mà P(x) đúng thì Q(x) đúng.

b) Chứng minh định lý

Giả sử ta cần chứng minh định lý: \(A \Rightarrow B.\)

Cách 1 (Chứng minh trực tiếp): Ta giả thiết A đúng, dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết để chứng minh B đúng.

Cách 2 (Chứng minh phản chứng): Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng.

4. Định lý đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ

Cho định lý dạng "\(\forall x \in X, P(x) \Rightarrow Q(x)\)"  (1). Khi đó P(x) là giả thiết, Q(x) là kết luận của định lý.

Phát biểu mệnh đề (1):

  • Cách 1: Với mọi x thuộc X, nếu có P(x) thì có Q(x).
  • Cách 2: P(x) là điều kiện đủ để có Q(x).
  • Cách 3: Q(x)  là điều kiện cần để có P(x).

Mệnh đề "\(\forall x \in X, Q(x) \Rightarrow P(x)\)"     (2) được gọi là định lý đảo của định lý (1) nếu nó đúng. Khi đó (1) là định lý thuận, (2) là định lý đảo.

Viết gộp "\(\forall x \in X, P(x) \Leftrightarrow Q(x)\)", ta nói "P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x)" hoặc "P(x) khi và chỉ khi Q(x)" hoặc "Điều kiện cần và đủ để có P(x) là có Q(x)".

II. Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề chứa biến?

A. 9 là số nguyên tố.             B. 18 là số chẵn.           C. \((x^2+x) \vdots 5, x \in \mathbb{N}.\)        D. Hình chữ nhật có hai đ­ờng chéo bằng nhau..

Ví dụ 2: Cho mệnh đề P(x): "\(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 +x+1>0\)". Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x) là: 

A. "\(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 +x+1<0\)".            B. "\(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 +x+1\le0\)".           C. "\(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 +x+1\le0\)".         D. "\(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 +x+1<0\)".

Ví dụ 3: Mệnh đề chứa biến: "\(x^3-3x^2+2x=0\)" đúng với giá trị của x là?

A. x = 0, x = 2.            B. x = 0, x = 3.           C. x = 0, x = 2, x = 3.         D. x = 0, x = 1, x = 2.

Ví dụ 4: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của để mệnh đề P: "\(2x-1\ge0\)" là mệnh đề sai?

A. \(x>\dfrac{1}{2}.\)             B. \(x\ge\dfrac{1}{2}.\)           C. \(x<\dfrac{1}{2}.\)         D. \(x\le\dfrac{1}{2}.\)

Ví dụ 5: Cho mệnh đề “Nếu a và b là hai số hữu tỉ thì tổng a + b chúng là số hữu tỉ”. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề tương đương với mệnh đề đó ?

A. Điều kiện cần để tổng a + b là số hữu tỉ là cả hai số a và b đều là số hữu tỉ.         

B. Điều kiện đủ để tổng a + b là số hữu tỉ là cả hai số a và b đều là số hữu tỉ.           

C. Điều kiện cần để a và b là hai số hữu tỉ thì tổng a + b  là số hữu tỉ.           

D. Tất cả các câu trên đều sai.