Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ

1. Định nghĩa: Là một nhóm các phần tử có cùng tính chất hoặc có cùng một đặc điểm nào đó. Tập hợp thường được kí hiệu bằng chữ cái in hoa như: A, B, C,…

Cho tập hợp A.

     + Nếu a là phần tử thuộc tập A ta viết \(a \in A.\) 

     + Nếu a là phần tử không thuộc tập A ta viết \(a \notin A.\) 

2. Cách xác định tập hợp: Có 2 cách để xác định tập hợp.

  a. Liệt kê: Viết tất cả các phần tử của tập hợp vào giữa dấy \(\big \{ \big \}\), các phần tử cách nhau bởi dấu “,”. 

  b. Nêu tính chất đặc trưng: Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.

         Ta thường minh họa tập hợp bằng một đường cong khép kín gọi là biểu đồ Ven.

3. Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu là \(\displaystyle \emptyset\).

                                                               \(A \ne \emptyset \Leftrightarrow \exists x: x \in A.\) 

4. Tập con của một tập hợp:

    Tập hợp A là con của tập hợp B hay còn gọi tập B là tập cha của tập A. Kí hiệu: \(A \subset B.\)

                                                               \(A \subset B \Leftrightarrow (\forall x \in A \Rightarrow x \in B).\)

     ► Chú ý:         

  • \(\emptyset \subset A, \forall A.\)
  • \(A \subset A, \forall A.\)
  • \(A \subset B, B \subset C \Rightarrow A \subset C\) (bắc cầu).

     + Số tập con của một tập hợp: Tập hợp A gồm có n phần tử thì số tập con của tập hợp A là \(P(A) = 2^n.\)

     + Số phần tử của một tập hợp A là n(A) hoặc \(\left| A \right|.\)  

  5. Hai tập hợp bằng nhau:

                                                              \(A = B \Leftrightarrow \forall x,(x \in A \Leftrightarrow x \in B) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A \subset B\\ B \subset A \end{array} \right..\)

II. Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hãy liệt kê các phần tử của tập \(X=\{x \in \mathbb{N} | 2x^2-5x+3=0\}.\)

A. \(X=\{0\}.\)                                   B. \(X=\{1\}.\)                                    C. \(X= \left\{ {\dfrac{3}{2}} \right\}.\)                                 D. \(X= \left\{ 1;{\dfrac{3}{2}} \right\}.\)

Ví dụ 2: Chp \(X=\{0;1;2;3;4;8;9;7\}\). Tập X có bao nhiêu tập con?

A. 8.                                             B. 128.                                            C. 256.                                           D. 64.

Ví dụ 3: Cho tập \(X=\{1;2;3;4\}\). Câu nào sau đây đúng? 

A. Số tập con của X là 16.                                                                    B.  Số tập con của X gồm 2 phần tử là 8.         

C. Số tập con của X chứa số 1 là 6.                                                      D. Số tập con của X gồm 3 phần tử là 2.

Ví dụ 4: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào rỗng?

A. \(A=\{x \in \mathbb{N} | x^2 -4=0\}.\)                                                                  B. \(B=\{x \in \mathbb{R} | x^2 +2x+3=0\}.\)         

C. \(B=\{x \in \mathbb{R} | x^2 -5=0\}.\)                                                                  D. \(D=\{x \in \mathbb{Q} | x^2 +x-12=0\}.\)

Ví dụ 5. Gọi \(B_n\) là tập hợp các số nguyên là bội số của n. Sự liên hệ giữa m và n sao cho \(B_n \subset B_m\) là:

A. m là bội số của n.                                                                            B. n là bội số của m.          

C. m, n nguyên tố cùng nhau.                                                               D. m, n đều là số nguyên tố.