Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I - Kiến thức cơ bản cần nhớ

1. Định nghĩa

Tích của vecto \(\overrightarrow a \) với số thực \(k\ne0\) là một vecto, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \), cùng hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(k>0\), ngược hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(k<0\) và có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|.\)

Quy ước: \(0\overrightarrow a =\overrightarrow 0 \) và \(k\overrightarrow a =\overrightarrow 0 .\)

2. Tính chất

  • \(\left( {k + m} \right)\overrightarrow a = k\overrightarrow a + m\overrightarrow a \)
  • \(k\left( {\overrightarrow a \pm \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a \pm k\overrightarrow b \)
  • \(k\left( {m\overrightarrow a } \right) = \left( {km} \right)\overrightarrow a \)
  • \(k\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} k = 0\\ \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)
  • \(1\overrightarrow a = \overrightarrow a ;( - 1)\overrightarrow a = - \overrightarrow a \)

3. Điều kiện để hai vecto cùng phương

  • \(\overrightarrow b \) cùng phương \(\overrightarrow a\:(\overrightarrow a\ne\overrightarrow 0)\) khi và chỉ khi có số \(k\) thỏa mãn \(\overrightarrow b = k\overrightarrow a \)
  • Điều kiện cần và đủ để \(A,B,C\) thẳng hàng là có số \(k\) sao cho \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \)

4. Phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương

Cho \(\overrightarrow a \) không cùng phương với \(\overrightarrow b \). Với mọi vecto \(\overrightarrow x \) luôn được biểu diễn \(x = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \) với \(m,n\) là các số thực duy nhất.

II - Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Xác định vecto \(k\overrightarrow a \)

Ví dụ 1: Cho ban điểm phân biệt \(A,B,C.\) Nếu \(\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AC} \) thì đẳng thức nào dưới đây đúng?

      A. \(\overrightarrow {BC} = - 4\overrightarrow {AC} .\)         B. \(\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {AC} .\)            C. \(\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AC} .\)              D. \(\overrightarrow {BC} = 4\overrightarrow {AC} .\)

Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC.\) Khẳng định nào sau đây đúng?

      A. \(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IC} .\)               B. \(3\overrightarrow {BI} = 2\overrightarrow {IC} .\)              C. \(\overrightarrow {BI} =2 \overrightarrow {IC} .\)               D. \(2\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IC} .\)

Ví dụ 3: Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC.\) Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?

      A. \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AM} .\)           B. \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {CN} .\)              C. \(\overrightarrow {BC} = -2\overrightarrow {NM} .\)        D. \(\overrightarrow {CN} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\)

Ví dụ 4: Cho \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) và điểm \(O.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow {a} \) và \(\overrightarrow {ON} = -4\overrightarrow {a} .\) Khi đó:

      A. \(\overrightarrow {MN} = 7\overrightarrow {a} .\)           B. \(\overrightarrow {MN} =-5\overrightarrow {a} .\)             C. \(\overrightarrow {MN} = -7\overrightarrow {a} .\)           D. \(\overrightarrow {MN} = -5\overrightarrow {a} .\)

Ví dụ 5: Cho ngũ giác \(ABCDE.\) Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,BC,CD,DE.\) Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm các đoạn \(MP,NQ.\) Khẳng định nào sau đây đúng?

      A. \(\overrightarrow {{\rm{IJ}}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AE} .\)           B. \(\overrightarrow {{\rm{IJ}}} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AE} .\)                  C. \(\overrightarrow {{\rm{IJ}}} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AE} .\)             D. \(\overrightarrow {{\rm{IJ}}} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {AE} .\)

Dạng 2: Hai vecto cùng phương, ba điểm thẳng hàng

Ví dụ 1: Cho ba điểm \(A,B,C\) phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng là:

      A. \(AB=AC.\)                                                    B. \(\exists k \ne 0:\overrightarrow {AB} = k.\overrightarrow {AC} .\)

      C. \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} .\)                                         D. \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ,\:\forall \text{ điểm }M.\)

Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\). Đặt \(\overrightarrow a = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {AC} .\) Các cặp vecto nào sau đây cùng phương?

      A. \(2\overrightarrow a + \overrightarrow b ,\overrightarrow a + 2\overrightarrow b .\)                                       B. \(\overrightarrow a -2\overrightarrow b ,2\overrightarrow a - \overrightarrow b .\)

      C. \(5\overrightarrow a + \overrightarrow b ,-10\overrightarrow a - 2\overrightarrow b .\)                                D. \(\overrightarrow a + \overrightarrow b ,\overrightarrow a - \overrightarrow b .\)

Ví dụ 3: Biết rằng hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương nhưng hai vecto \(2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a + (x - 1)\overrightarrow b \) cùng phương. Khi đó giá trị của \(x\) là:

      A. \(\dfrac{1}{2}.\)                             B. \(-\dfrac{3}{2}.\)                        C. \(-\dfrac{1}{2}.\)                          D. \(\dfrac{3}{2}.\)

Ví dụ 4: Cho tam giác \(ABC.\) Hai điểm \(M,N\) được xác định bởi các hệ thức \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {NA} - 3\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 .\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

      A. \(MN\bot AC.\)                                                    B. \(MN//AC.\)             

      C. \(M\) nằm trên đường thẳng \(AC.\)                    D. Hai đường thẳng \(MN,AC\) trùng nhau.

Ví dụ 5: Cho hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Hai vecto nào sau đây là cùng phương?

       A. \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \)  \(\overrightarrow v = \dfrac{1}{2}\overrightarrow a - 3\overrightarrow b .\)           B. \(\overrightarrow u = \dfrac{3}{5}\overrightarrow a+3\overrightarrow b\)  \(\overrightarrow v = 2\overrightarrow a -\dfrac{3}{5}\overrightarrow b .\)

      C. \(\overrightarrow u = \dfrac{2}{3}\overrightarrow a+3\overrightarrow b\)  \(\overrightarrow v = {2}\overrightarrow a - 9\overrightarrow b .\)            D. \(\overrightarrow u = {2}\overrightarrow a- \dfrac{3}{2}\overrightarrow b\) và \(\overrightarrow v = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow a +\dfrac{1}{4}\overrightarrow b .\)

Dạng 3: Biểu thị một vecto theo hai vecto không cùng phương

Ví dụ 1: Trên đường thẳng chứa cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\) lấy một điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} .\) Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?

      A. \(\overrightarrow {AM } = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} +\dfrac{3}{2}\overrightarrow {AC} .\)                              B. \(\overrightarrow {AM } ={2}\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC} .\)

      C. \(\overrightarrow {AM } =\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC} .\)                                       D. \(\overrightarrow {AM } = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AC}\right) .\)

Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(G\) là trọng tâm và \(H\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(G.\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

      A. \(\overrightarrow {AH } = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} -\dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} .\)                                 B. \(\overrightarrow {AH } = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} -\dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} .\)

      C. \(\overrightarrow {AH } = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} .\)                                D. \(\overrightarrow {AH } = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} -\dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\)

Ví dụ 3: Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G.\) Gọi các điểm \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CA,AB.\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

      A. \(\overrightarrow {AG } = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AE}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AF} .\)                                 B. \(\overrightarrow {AG } = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AE}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow {AF} .\)

      C. \(\overrightarrow {AG } = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AE}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow {AF} .\)                                 D. \(\overrightarrow {AG } = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AE}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AF} .\)

Ví dụ 4: Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(D\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {BD} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BC}\) và \(I\) là trung điểm của cạnh \(AD,\:M\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {AC}.\) Vecto \(\overrightarrow {BI}\) được phân tích theo hai vecto \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC}.\) Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

      A. \(\overrightarrow {BI } = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\)                                 B. \(\overrightarrow {BI } = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)

      C. \(\overrightarrow {BI } = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BA}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} .\)                                 D. \(\overrightarrow {BI } = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {BA}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow {BC} .\)

Ví dụ 5: Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB,\:N\) là điểm thuộc \(AC\) sao cho \(\overrightarrow {CN} = 2\overrightarrow {NA} .\) \(K\) là trung điểm của \(MN.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

      A. \(\overrightarrow {AK } = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow {AC} .\)                                B. \(\overrightarrow {AK } = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\)

      C. \(\overrightarrow {AK } = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\)                                D. \(\overrightarrow {AK } = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} .\)