Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình bậc ba

a) Định nghĩa

Phương trình bậc ba một ẩn là phương trình có dạng \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) với hệ số\( a,b,c,d\) là số thực và \(a \ne 0\).

b) Lược đồ hoocne

Lược đồ hoocne sử dụng cho các phương trình bậc cao. Khi nhẩm được một nghiệm của phương trình, chúng ta sẽ sử dụng lược đồ hoocne để phân tích thành tích của nhiều đa thức bậc thấp hơn..

Cho \({x_0}\) là nghiệm của phương trình bậc 3, ta sẽ được lược đồ hoocne như sau.

 \(x\)  \(a\)  \(b\)  \(c\)  \(d\)
 \({x_0}\)  \(a\)  \({x_0}.a + b\)  \({x_0}.({x_0}.a + b) + c\)  \({x_0}.\left[ {{x_0}.({x_0}.b + a) + c} \right] + d=0\)

Ví dụ 1: Cho phương trình \(2{x^3} - 5x + 3 = 0\). Ta nhẩm được một nghiệm \(x = 1\). Lược đồ hoocne như sau:

 \(x\)  \(2\)  \(0\)  \(-5\)  \(3\)
 \(1\)  \(2\) \(1.2+0=2\) \(1.2-5=-3\) \(1.(-3)+3=0\)

Vậy ta được: \(2{x^3} - 5x + 3 = (x - 1)(2{x^2} + 2x - 3)\)

Ví dụ 2: Cho phương trình \(3{x^3} - {x^2} - 3x - 14 = 0\). Ta nhẩm được một nghiệm \(x = 2\). Lược đồ hoocne như sau:

 \(x\)  \(3\)  \(-1\)  \(-3\)  \(-14\)
 \(2\)  \(3\)  \(5\)  \(7 \)  \(0\)

Vậy ta được:  \(3{x^3} - {x^2} - 3x - 14 = \left( {x - 2} \right)(3{x^2} + 5x + 7)\)

 

2. Phương trình bậc bốn

a) Định nghĩa

Phương trình bậc bốn một ẩn là phương trình có dạng \(a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0\) với hệ số \(a,b,c,d,e\) là các số thực và \(a \ne 0\)

b) Sử dụng máy tính để nhẩm nghiệm phương trình bậc bốn (\(fx-570ES\) \(PLUS\))

Bước 1:  Nhập vào máy biểu thức

Bước 2: Ấn: SHIFT SOLVE, cho lần lược 2 giá trị ban đầu của \(x\) (một giá trị dương và một giá trị âm)

Bước 3: Sử dụng lược đồ hoocne

 

II. Một số dạng toán thường gặp

Đưa phương trình bậc bốn về phương trình bậc 2

Dạng 1: \(a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0\) với \(\dfrac{e}{a} = {\left( {\dfrac{d}{b}} \right)^2} \ne 0\)

Bước 1: Chia hai vế của phương trình cho \({x^2}\) ( với \(x \ne 0\))

Bước 2: Đặt \(t = x + \dfrac{\alpha }{x}\) (với \(\alpha = \dfrac{d}{b}\))

 

Dạng 2: \({\left( {x + a} \right)^4} + {(x + b)^4} = c\)

Bước 1: Đặt \(t = x + \dfrac{{a + b}}{2}\)

Bước 2: Thay và khai triển ta sẽ được phương trình trùng phương ẩn \(t\).

 

Dạng 3: \((x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e\) với \(a + b = c + d\)

Bước 1: Biến đổi \((x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = \left[ {{x^2} + x(a + b) + ab} \right]\left[ {{x^2} + x(c + d) + cd} \right]\)

Bước 2: Đặt \(t = {x^2} + x(a + b)\)

 

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho phương trình: \((x + 4)(x + 6)(x - 2)(x - 12) = m{x^2}\), m là tham số.

a) Chứng minh rằng với \(m<0\) phương trình vô nghiệm.

b) Giải phương trình với \(m=25\).

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) \(2{x^4} + 3{x^3} - 16{x^2} + 3x + 2 = 0\)

b) \((x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 360\)

c) \({(x + 1)^4} + {(x + 2)^4} = 17\)

Ví dụ 3: Sử dụng lược đồ hoocne để giải phương trình sau:

\(2{x^4} - {x^3} - 2{x^2} - \dfrac{{11}}{4}x + \dfrac{{15}}{8} = 0\)