Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I - Kiến thức cơ bản cần nhớ

1. Trục và độ dài đại số trên trục

  • Định nghĩa: Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm \(O\) gọi là điểm gốc và một vecto đơn vị \(\overrightarrow e .\)
  • Điểm \(O\) gọi là gốc tọa độ.
  • Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục.
  • Ta kí hiệu trục đó là \(\left( {O;\overrightarrow e } \right).\)

                         

  • Cho \(M\) là một điểm tùy ý trên trục \(\left( {O;\overrightarrow e } \right).\) Khi đó có duy nhất một số \(k\) sao cho \(\overrightarrow {OM} = k\overrightarrow e .\) Ta gọi số \(k\) đó là tọa độ của điểm \(M\) đối với trục đã cho.
  • Cho hai điểm \(A\) và \(B\) trên trục \(\left( {O;\overrightarrow e } \right).\) Khi đó có duy nhất số \(a\) sao cho \(\overrightarrow {AB} = a\overrightarrow e .\) Ta gọi số \(a\) là độ dài đại số của vecto \(\overrightarrow {AB} \) đối với trục đã cho và kí hiệu \(a=\overline {AB}.\)

2. Hệ trục tọa độ

Hệ gồm hai trục tọa độ \(Ox,Oy\) vuông góc với nhau. Vecto đơn vị trên \(Ox,Oy\) lần lượt là \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j .\) \(O\) là gốc tọa độ, \(Ox\) là trục hoành, \(Oy\) là trục tung.

3. Tọa độ của vecto

►   Trong hệ trục tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) nếu \( \overrightarrow u =x\overrightarrow i + y\overrightarrow j\) thì cặp số \((x;y)\) được gọi là tọa độ của vecto \(\overrightarrow u\), kí hiệu là \(\overrightarrow u=(x;y)\) hay \(\overrightarrow u(x;y).\)

\(x\) được gọi là hoành độ,  \(y\) được gọi là tung độ của vecto \(\overrightarrow u\).

►   Nếu \( \overrightarrow {OM}=x\overrightarrow i + y\overrightarrow j\) thì \((x;y)\) gọi là tọa độ của điểm \(M\), kí hiệu là \(M=(x;y)\) hay \(M(x;y).\)

\(x\) được gọi là hoành độ,  \(y\) được gọi là tung độ của điểm \(M\)

                                             

  • Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) lên \(Ox\) và \(Oy\) thì \(M(x;y) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OK} .\) Như vậy \(\overrightarrow {OH} = x\overrightarrow i ,\:\overrightarrow {OK} = y\overrightarrow j \) hay \(x = \overline {OH} ,\:y = \overline {OK} \).

►   Các công thức vecto: Cho hai vecto \(\overrightarrow u = \left( {{u_1};{u_2}} \right),\:\overrightarrow v = \left( {{v_1};{v_2}} \right)\)

  • \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = {v_1}\\ {u_2} = {v_2} \end{array} \right.;\)
  • \(\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {{u_1} + {v_1};{u_2} + {v_2}} \right);\)
  • \(\overrightarrow u - \overrightarrow v = \left( {{u_1} - {v_1};{u_2} - {v_2}} \right);\)
  • \(k\overrightarrow u = \left( {k{u_1};k{u_2}} \right),\:k\in \mathbb{R};\)
  • Độ lớn của vecto \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {u_1^2 + u_2^2} ;\)
  • Hai vecto \(\overrightarrow u = \left( {{u_1};{u_2}} \right),\:\overrightarrow v = \left( {{v_1};{v_2}} \right)\) cùng phương khi và chỉ khi có một số \(k\) sao cho \(u_1=kv_1\) và \(u_2=kv_2.\)

4. Tọa độ của một điểm

Cho ba điểm \(A(x_A;y_A),\:B(x_B;y_B),\:C(x_C;y_C):\)

  • \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right);\)
  • \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {({x_B} - {x_A}{)^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2}} ;\)
  • Tọa độ trung điểm \(I\) của \(AB\)\({x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2},{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\)
  • Tọa độ trong tâm \(G\) của tam giác \(ABC\)\({x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}+x_C}}{3},{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}+y_C}}{3};\)
  • Tọa độ điểm \(M\) chia \(AB\) theo tỉ số \(k\ne1\)\({x_M} = \dfrac{{{x_A} -k{x_B}}}{1-k},{y_M} = \dfrac{{{y_A} -k{y_B}}}{1-k}.\)

II - Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vecto trên mặt phẳng \(Oxy\)

Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho \(A(5;2),\:B(10;8).\) Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow {AB} \)?

      A. \((15;10).\)                      B. \((2;4).\)                      C. \((5;6).\)                     D. \((50;16).\)

Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(B(9;7),\:C(11;-1).\) Gọi \(M,\:N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC.\) Tìm tọa độ vecto \(\overrightarrow {MN} \)?

      A. \((2;-8).\)                      B. \((1;-4).\)                    C. \((10;6).\)                  D. \((5;3).\)

Ví dụ 3: Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho hình vuông \(ABCD\) có gốc \(O\) làm tâm hình vuông  và các cạnh của nó song song với các trục tọa độ. Khẳng định nào đúng?

      A. \(\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = AB.\)                                        B. \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ,\:\overrightarrow {DC} \) cùng hướng.

      C. \(x_A=-x_C,\:y_A=y_C.\)                                    D. \(x_B=-x_C,\:y_B=y_C.\)

Ví dụ 4: Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho \(M(3;-4).\) Gọi \(M_1,M_2\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(Ox,Oy.\) Khẳng định nào đúng?

      A. \(\overline {O{M_1}} = - 3.\)                                                  B. \(\overline {O{M_2}} = 4.\)               

      C. \(\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} = ( - 3; - 4).\)                            D. \(\overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {O{M_2}} = ( 3; - 4).\)

Ví dụ 5: Trong hệ trục tọa độ \(\left( {O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\), cho hình thoi \(ABCD\) tâm \(O\) có \(AC=8,BD=6.\) Biết \(\overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow i\) cùng hướng, \(\overrightarrow {OB}\) và \(\overrightarrow j\) cùng hướng. Tính tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC.\)

      A. \(G(0;1).\)                     B. \(G(-1;0).\)                C. \(G\left(\dfrac{1}{2};0\right).\)                D. \(G\left(0;\dfrac{3}{2}\right).\)

Dạng 2: Xác định tọa độ điểm, vecto liên quan đến các phép tính vecto

Ví dụ 1: Cho \(\overrightarrow a = \left( { - 1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {5; - 7} \right).\) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow a - \overrightarrow b \).

      A. \((6;-9).\)                    B. \((4;-5).\)                   C. \((-6;9).\)                    D. \((-5;-14).\)

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho \(\overrightarrow a = \left( { - 1;3} \right),\overrightarrow b = \left( {5; - 7} \right).\) Tọa độ vecto \(3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \) là:

      A. \((6;-19).\)                  B. \((13;-29).\)                C. \((-6;10).\)                 D. \((-13;23).\)

Ví dụ 3: Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho \(A(2;5),\:B(1;1),\:C(3;3).\) Tìm tọa độ điểm \(E\) sao cho \(\overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} .\)

      A. \((3;-3).\)                    B. \((-3;3).\)                    C. \((-3;-3).\)                D. \((-2;-3).\)

Ví dụ 4: Cho ba điểm \(A(-4;0),\:B(-5;0),\:C(3;0).\) Tìm điểm \(M\) trên trục \(Ox\) sao cho \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 .\)

      A. \((-2;0).\)                    B. \((2;0).\)                      C. \((-4;0).\)                    D. \((-5;0).\)

Ví dụ 5: Cho \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j ,\overrightarrow v = - 5\overrightarrow i - \overrightarrow j .\) Gọi \((X;Y)\) là tọa độ của \(\overrightarrow {\rm{w}} = 2\overrightarrow u - 3\overrightarrow v\) thì tích \(XY\) bằng:

      A. \(-57.\)                       B. \(57.\)                            C. \(-63.\)                       D. \(63.\)