Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. Định nghĩa.

Cho a, b là hai số thực. Các mệnh đề "\(a > b\)", "\(a < b\)", "\(a \ge b\)","\(a \le b\)" được gọi là những bất đẳng thức.

  • Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng (mệnh đề đúng).
  • Với A, B là mệnh đề thứ chứa biến thì "\(A>B\)" là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức \(A>B\) (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến  "\(A>B\)" đúng với tất cả các giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện nào đó). Khi đó ta có bất đẳng thức \(A>B\) mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực.

2. Tính chất.

  • \(a>b\) và \(b>c\) thì \(a>c.\)
  • \(a>b\) \( \Leftrightarrow a + c > b + c.\)
  • \(a>b\) và \(c>d\) \(\Rightarrow a + c > b + d.\)
  • Nếu \(c>0\) thì \(a>b\) \(\Leftrightarrow ac > bc.\)
  • Nếu \(c<0\) thì \(a>b\) \(\Leftrightarrow ac < bc.\)
  • \(a > b \ge 0 \Rightarrow \sqrt a > \sqrt b .\)
  • \(a \ge b \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} > {b^2}.\)
  • \(a > b \ge 0 \Rightarrow {a^n} > {b^n}.\)

3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.

  • \(- \left| a \right| \le a \le \left| a \right|\)với mọi số thực a.
  • \(\left| x \right| < a \Leftrightarrow - a < x < a.\)(Với \(a>0\))
  • \(\left| x \right| > a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > a\\ x < - a \end{array} \right.\) (Với \(a>0\))

4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy)

a) Đối với hai số không âm.

Cho \(a \ge 0,b \ge 0,\)ta có \(\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} .\) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a = b.\)

Hệ quả:

  • Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đố bằng nhau.
  • Hai số dương có tích không đổi thì tổng bé nhất khi hai số bằng nhau.

b) Đối với ba số không âm.

Cho \(a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0,\)ta có \(\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}.\) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c.\)

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.

Dạng 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất cơ bản.

Phương pháp giải:

Để chứng minh bất đẳng thức \(A \ge B\), ta có thể sử dụng các cách sau:

Ta đi chứng minh \(A - B \ge 0\). Để chứng minh nó thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích \(A-B\) thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.

Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh.

Một số ví dụ minh họa.

Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.

Ví dụ 1: Cho hai số thực a, b. Chứng minh rằng:

 \(ab \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}.\)

Ví dụ 2: Cho năm số thực a, b, c, d, e. Chứng minh rằng:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2} \ge a(b + c + d + e).\)

Ví dụ 3: Cho \(ab \ge 1.\) Chứng minh rằng:

\(\dfrac{1}{{{a^2} + 1}} + \dfrac{1}{{{b^2} + 1}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}.\)

Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh.

Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt.

* Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng:

\(a \in \left[ {\alpha ;\beta } \right] \Rightarrow \left( {a - \alpha } \right)\left( {a - \beta } \right) \le 0\) (*)

\(a,b,c \in \left[ {\alpha ;\beta } \right] \Rightarrow \left( {a - \alpha } \right)\left( {b - \alpha } \right)\left( {c - \alpha } \right) + \left( {\beta - a} \right)\left( {\beta - b} \right)\left( {\beta - c} \right) \ge 0\)(**)

Ví dụ 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng: 

\({a^2} + {b^2} + {c^2} < 2(ab + bc + ca).\)

Ví dụ 2: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1.\)Chứng minh rằng:

\(2\left( {1 + a + b + c + ab + bc + ca} \right) + abc \ge 0.\)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu \(a \ge 4,b \ge 5,c \ge 6\) và \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 90\)thì \(a + b + c \ge 16.\) 

Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si:

* Khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si thì các số phải là những số không âm.

* BĐT cô-si thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích.

* Điều kiện xảy ra dấu "=" là các số bằng nhau.

* Bất đẳng thức cô-si còn có hình thức khác thường hay sử dụng.

Đối với hai số: 

\({x^2} + {y^2} \ge 2xy;\) \({x^2} + {y^2} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2};\) \(xy \le {\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2}.\)

Đối với ba số:

\(abc \le \dfrac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{3};\) \(abc \le {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{3}} \right)^3}.\)

Một số ví dụ minh họa.

Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức cô-si.

Ví dụ 1: Cho a, b là số dương thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 2.\) Chứng minh rằng:

\(\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right)\left( {\dfrac{a}{{{b^2}}} + \dfrac{b}{{{a^2}}}} \right) \ge 4.\)

Ví dụ 2: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng:

\({a^2}\sqrt {bc} + {b^2}\sqrt {ac} + {c^2}\sqrt {ab} \le {a^3} + {b^3} + {c^3}.\)

Ví dụ 3: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3.\)Chứng minh rằng:

\(\dfrac{{ab}}{{3 + {c^2}}} + \dfrac{{bc}}{{3 + {a^2}}} + \dfrac{{ca}}{{3 + {b^2}}} \le \dfrac{3}{4}.\)

Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp.

  • Để chứng minh BĐT, ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT Cô-si.
  • Khi gặp BĐT có dạng \(x + y + z \ge a + b + c\)(hoặc \(xyz \ge abc\)), ta thường đi chứng minh \(x + y \ge 2a\)(hoặc \(ab \le {x^2}\)), xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng (hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh.
  • Khi tách và áp dụng BĐT cô-si ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra (thường dấu xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên).

Ví dụ 1: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{{ab}}{c} + \dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ac}}{b} \ge a + b + c.\)

Ví dụ 2: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng

 \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}.\)

Ví dụ 3: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn \(a + b + c = 3.\)Chứng minh rằng:

\(\dfrac{a}{{\sqrt {b + 1} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {c + 1} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {a + 1} }} \ge \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}.\)

Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa.

Nhiều khi không dự đoán được dấu bằng xảy ra (để tách ghép cho hợp lí) chúng ta cần đưa tham số vào rồi chọn sau sao cho dấu bằng xảy ra.

Ví dụ 1: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1.\)Tìm giá trị lớn nhất của \(A = \left( {1 + 2a} \right)\left( {1 + 2bc} \right).\)

Ví dụ 2: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn \(2a + 4b + 3{c^2} = 68.\)Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A = {a^2} + {b^2} + {c^3}.\)

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \dfrac{{{x^2} - x + 3}}{{\sqrt {1 - {x^3}} }}\) với \(x<1.\)

Loại 4: Kĩ thuật cô-si ngược dấu.

Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn \(a+b+c=3.\)Chứng minh rằng:

\(\dfrac{a}{{1 + {b^2}}} + \dfrac{b}{{1 + {c^2}}} + \dfrac{c}{{1 + {a^2}}} \ge \dfrac{3}{2}.\)

Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của:

\(P = \dfrac{{\sqrt {bc} }}{{a + 2\sqrt {bc} }} + \dfrac{{\sqrt {ca} }}{{b + 2\sqrt {ca} }} + \dfrac{{\sqrt {ab} }}{{c + 2\sqrt {ab} }}.\)

Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1.\)Chứng minh rằng:

\(\dfrac{c}{{1 + ab}} + \dfrac{b}{{1 + ac}} + \dfrac{a}{{1 + bc}} \ge 1.\)

Dạng 3: Đặt ẩn phụ trong bất đẳng thức.

Phương pháp giải:

Điều quan trọng trong kĩ thuật này là phát hiện ra ẩn phụ (ẩn phụ có thể là \(x = f(a,b,c);y = g(a,b,c);z = h(a,b,c)\))

Ẩn phụ có thể có ngay trong biểu thức của bất đẳng thức hoặc qua một số phép biến đổi, đánh giá.

Một số ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{{a + b}}{{a + b + c}} + \dfrac{{6b + 8c}}{{2a + b}} + \dfrac{{3a + 2b + c}}{{b + c}} \ge 7.\)

Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác có chu vi là 2p. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{a}{{p - a}} + \dfrac{b}{{p - b}} + \dfrac{c}{{p - c}} \ge \sqrt {\dfrac{{b + c}}{{p - a}}} + \sqrt {\dfrac{{c + a}}{{p - b}}} + \sqrt {\dfrac{{a + b}}{{p - c}}} .\)

Ví dụ 3: Cho x, y, z là số dương. Chứng minh rằng:

\({x^3} + 2{y^3} + 3{z^3} \ge \dfrac{{1590}}{{1331}}{\left( {x + y + z} \right)^3}.\)

Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức phụ.

Phương pháp giải:

Điều quan trọng dạng toán này là cần phát hiện ra được bất đẳng thức phụ. Bất đẳng thức phụ có thể là những BĐT cơ bản đã có hoặc là chúng ta từ đặc điểm của BĐT cần chứng minh chúng ta dự đoán và đưa ra BĐT phụ từ đó vận dụng bài toán.

Một số ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{a}{{{b^3}}} + \dfrac{b}{{{c^3}}} + \dfrac{c}{{{a^3}}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{{abc}}.\)

Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{1}{{2a + b + c}} + \dfrac{1}{{a + 2b + c}} + \dfrac{1}{{a + b + 2c}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\)

Ví dụ 3: Cho a, b, c dương thỏa mãn \(a + b + c = 1.\)Chứng minh rằng:

\(\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}} \ge 30.\)