Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

1. Các định nghĩa

►   Vecto là đoạn thẳng có hướng.

  • Một điểm được xác định là điểm gốc (điểm đầu), còn điểm kia là điểm ngọn (điểm cuối).
  • Hướng từ điểm gốc đến điểm ngọn là hướng của vecto.
  • Độ dài của đoạn thẳng được gọi là độ dài của vecto.

►   Kí hiệu: 

  • Vecto có điểm gốc \(A\), điểm ngọn \(B\) kí hiệu là \(\overrightarrow {AB} .\) Vecto còn kí hiệu là: \(\overrightarrow {a},\overrightarrow {b},\overrightarrow {x},\overrightarrow {y},... \)

                                          

  • Độ dài vecto \(\overrightarrow {AB} \) kí hiệu là \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\)
  • Đường thẳng \(AB\) gọi là giá của vecto \(\overrightarrow {AB} .\)

►   Vecto - không kí hiệu \(\overrightarrow 0 \) là vecto:

  • Có điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau.
  • Có hướng bất kì.
  • Độ dài bằng \(0.\)

►   Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

  • Kí hiệu: \(\overrightarrow {AB} //\overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} AB//CD\\ A,B,C,D\text{ thẳng hàng } \end{array} \right.\)
  • Hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng phương có thể chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

►   Hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} //\overrightarrow {CD} \\ \text{Tia }AB,CD\text{ cùng hướng} \end{array} \right.\)

►   Hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} //\overrightarrow {CD} \\ \text{Tia }AB,CD\text{ ngược hướng} \end{array} \right.\)

►   Hai vecto được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Kí hiệu: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB = CD\\ \overrightarrow {AB}\text{ cùng hướng } \overrightarrow {CD} \end{array} \right.\)

►   Hai vecto được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài.

Kí hiệu: \(\overrightarrow {AB} =- \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB = CD\\ \overrightarrow {AB}\text{ ngược hướng } \overrightarrow {CD} \end{array} \right.\)

2. Tổng của hai vecto

►   Qui tắc ba điểm:

  • Với ba điểm bất kì \(A,B,C\) ta có: \(\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {AC}.\)
  • Mở rộng qui tắc ba điểm cho \(n\) điểm \(A_1,A_2,....,A_n\) thì: \(\overrightarrow {A_1A_2} +\overrightarrow {A_2A_3}+....+\overrightarrow {A_{n-1}A_n}=\overrightarrow {A_1A_n}.\)

►   Qui tắc hình bình hành:

  • Cho hình bình hành \(ABCD\) thì \(\left[ \begin{array}{l} \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \\ \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} \end{array} \right.\) và \(\left[ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \\ \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)

►   Trung điểm: Cho \(I\) là trung điểm \(AB\) và một điểm \(M\) bất kì, khi đó: 

  • \(\overrightarrow {IA} +\overrightarrow {IB}=\overrightarrow {0}.\)
  • \(\overrightarrow {MA} +\overrightarrow {MB}=2\overrightarrow {MI}\) (với \(M\) là điểm tùy ý).

►   Trọng tâm: Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(M\) là một điểm bất kì, khi đó:

  • \(\overrightarrow {GA} +\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {0}.\)
  • \(\overrightarrow {MA} +\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC}=3\overrightarrow {MG}\) (với \(M\) là điểm tùy ý).

3. Hiệu của hai vecto

►   Hiệu của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b\) là tổng của vecto \(\overrightarrow a \) và vecto đối của vecto \(\overrightarrow b\).

Kí hiệu: \(\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}=\overrightarrow {a}+\left(-\overrightarrow {b}\right).\)

►   Qui tắc về hiệu vecto: Cho \(A,B,C\) tùy ý, ta có \(\overrightarrow {CB} -\overrightarrow {CA}=\overrightarrow {AB}.\)

4. Tích của vecto với một số

 a. Định nghĩa

Tích của vecto \(\overrightarrow a \) với số thực \(k\ne0\) là một vecto, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \), cùng hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(k>0\), ngược hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(k<0\) và có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|.\)

Quy ước: \(0\overrightarrow a =\overrightarrow 0 \) và \(k\overrightarrow a =\overrightarrow 0 .\)

b. Tính chất

  • \(\left( {k + m} \right)\overrightarrow a = k\overrightarrow a + m\overrightarrow a \)
  • \(k\left( {\overrightarrow a \pm \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a \pm k\overrightarrow b \)
  • \(k\left( {m\overrightarrow a } \right) = \left( {km} \right)\overrightarrow a \)
  • \(k\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} k = 0\\ \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)
  • \(1\overrightarrow a = \overrightarrow a ;( - 1)\overrightarrow a = - \overrightarrow a \)

c. Điều kiện để hai vecto cùng phương

  • \(\overrightarrow b \) cùng phương \(\overrightarrow a\:(\overrightarrow a\ne\overrightarrow 0)\) khi và chỉ khi có số \(k\) thỏa mãn \(\overrightarrow b = k\overrightarrow a \)
  • Điều kiện cần và đủ để \(A,B,C\) thẳng hàng là có số \(k\) sao cho \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \)

d. Phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương

Cho \(\overrightarrow a \) không cùng phương với \(\overrightarrow b \). Với mọi vecto \(\overrightarrow x \) luôn được biểu diễn \(x = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \) với \(m,n\) là các số thực duy nhất.

5. Hệ trục tọa độ vecto

a. Tọa độ điểm

Nếu \( \overrightarrow {OM}=x\overrightarrow i + y\overrightarrow j\) thì \((x;y)\) gọi là tọa độ của điểm \(M\), kí hiệu là \(M=(x;y)\) hay \(M(x;y).\)  

b. Các công thức vecto: Cho hai vecto \(\overrightarrow u = \left( {{u_1};{u_2}} \right),\:\overrightarrow v = \left( {{v_1};{v_2}} \right)\)

  • \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = {v_1}\\ {u_2} = {v_2} \end{array} \right.;\)
  • \(\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {{u_1} + {v_1};{u_2} + {v_2}} \right);\)
  • \(\overrightarrow u - \overrightarrow v = \left( {{u_1} - {v_1};{u_2} - {v_2}} \right);\)
  • \(k\overrightarrow u = \left( {k{u_1};k{u_2}} \right),\:k\in \mathbb{R};\)
  • Độ lớn của vecto \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {u_1^2 + u_2^2} ;\)
  • Hai vecto \(\overrightarrow u = \left( {{u_1};{u_2}} \right),\:\overrightarrow v = \left( {{v_1};{v_2}} \right)\) cùng phương khi và chỉ khi có một số \(k\) sao cho \(u_1=kv_1\) và \(u_2=kv_2.\)

c. Tọa độ của một điểm

Cho ba điểm \(A(x_A;y_A),\:B(x_B;y_B),\:C(x_C;y_C):\)

  • \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right);\)
  • \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {({x_B} - {x_A}{)^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2}} ;\)
  • Tọa độ trung điểm \(I\) của \(AB\)\({x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2},{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\)
  • Tọa độ trong tâm \(G\) của tam giác \(ABC\)\({x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}+x_C}}{3},{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}+y_C}}{3};\)
  • Tọa độ điểm \(M\) chia \(AB\) theo tỉ số \(k\ne1\)\({x_M} = \dfrac{{{x_A} -k{x_B}}}{1-k},{y_M} = \dfrac{{{y_A} -k{y_B}}}{1-k}.\)