Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Nhắc lại tính chất đã được học

 \(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ , (}}x \ge 0)\\ - x{\rm{ , (}}x < 0) \end{array} \right.\)

 \(\left| x \right| \ge x\)

 \(\left| { - x} \right| = \left| x \right|\)

 \(\left| x \right| - \left| y \right| \le \left| {x + y} \right| \le \left| x \right| + \left| y \right|\)

 

2. Các dạng phương trình tuyệt đối

\(\left| {f(x)} \right| = a\) (\(a\) là hằng số)

\(\left| {f(x)} \right| = g(x)\)

\(\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|\)

 \(\left| {f(x)} \right| + \left| {g(x)} \right| = b\) (b là hằng số)

 

II. Một số dạng toán thường gặp

Phương pháp

Dạng 1\(\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x)\\ f(x) = - g(x) \end{array} \right.\)

Dạng 2\(\left| {f(x)} \right| = g(x)\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0\\ f(x) = \pm g(x) \end{array} \right.\)

Dạng 3: \(\left| {f(x)} \right| + \left| {g(x)} \right| = b\)

Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\)\(g(x) = 0\) 

Bước 2: Lập bảng xét dấu giá trị tuyệt đối

 

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a) \({(x - 3)^2} + 2\left| {x - 3} \right| - 8 = 0\)

b) \(\left| {{x^2} + 5x + 4} \right| = x + 4\)

c) \(\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 1} \right| = 5\)

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau: \(\left| {mx + 2m} \right| = m+1\)

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt.

\(\left| {{x^2} + x} \right| = \left| {m{x^2} - (m + 1)x - 2m - 1} \right|\)