Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình bậc hai

\(\sqrt {f(x)} = g(x)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0\\ f(x) = {g^2}(x) \end{array} \right.\)

► \(\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0\\ f(x) = g(x) \end{array} \right.\) hoặc \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0\\ f(x) = g(x) \end{array} \right.\)

 

2. Phương trình bậc ba

 ► \(\sqrt[3]{{f(x)}} = a\) \( \Leftrightarrow f(x) = {a^3}\)

► \(\sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B} = \sqrt[3]{C}\)\( \Leftrightarrow A + B + 3\sqrt[3]{{AB}}(\sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B}) = C\)

\(\Leftrightarrow A + B + 3\sqrt[3]{{ABC}} = C\)

 

II. Một số dạng toán thường gặp

Phương pháp:

1) Bình phương hai vế của phương trình bậc hai

2) Đưa về phương trình tích

Đưa về dạng \(A.B=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 0 \end{array} \right.\)

3) Nhân liên hợp

Nhẩm nghiệm của phương trình, sau đó nhân liên hợp các biểu thức.

4) Đặt ẩn phụ

Loại 1\(af(x) + b\sqrt {f(x)} + c = 0\)

Đặt \(\sqrt {f(x)} = t \ge 0\)

Loại 2\(\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} + \sqrt {f(x).g(x)} = h(x)\)

Đặt \(t = \sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} \)

Loại 3: \(\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} = h(x)\)

Đặt \(\sqrt {f(x)} = u,\sqrt {g(x)} = v\), đưa về hệ phương trình.

5) Phương pháp đánh giá

Sử dụng một số tính chất như sau:

\({f^2}(x) \ge 0\) \(\sqrt[{2k}]{{f(x)}} \ge 0\) , \(k \in {N^*}\)
\(\left| {f(x)} \right| \ge 0\) \(\left| {f(x)} \right| + \left| {g(x)} \right| \ge \left| {f(x) + g(x)} \right| \ge \left| {f(x)} \right| - \left| {g(x)} \right|\)
\({a^2} + {b^2} \ge 2{\rm{a}}b\) \((a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \ge {\left( {{a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}} \right)^2}\)

Một số ví dụ minh họa

Bài tập trắc nghiệm

Ví dụ 1: Cho phương trình \(\sqrt {14 - 2{\rm{x}}} = x - 3\). Phát biểu nào sau đây là đúng.

A. Phương trình đã cho có nghiệm âm
B. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu
C. Phương trình đã cho có nghiệm dương duy nhất
D. Phương trình đã cho có nghiệm với \(x \le 7\)

Ví dụ 2: Cho phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} + 4} = \sqrt {2 - x} \). Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình đã cho, giá trị của S là:

A. \(S = - 1\) B. \(S = - 2\)
C. \(S = - 3\) D. \(S = 0\)

Ví dụ 3: Cho phương trình \(\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} + 7} + \sqrt {5{{\rm{x}}^2} + 10{\rm{x}} + 14} = 4 - 2{\rm{x}} - {x^2}\). Phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm

A. Có 1 nghiệm B. Có 2 nghiệm
C. Có vô số nghiệm D. Vô nghiệm

Ví dụ 4: Cho phương trình \((x + 3)\sqrt {2{{\rm{x}}^2} + 1} = {x^2} + x + 3\). Phát biểu nào sau đây là đúng.

A. Phương trình đã cho có 3 nghiệm
B. Phương trình đã cho có 2 nghiệm
C. Phương trình đã cho có nghiệm âm
D. Tổng các nghiệm của phương trình bằng 0

Ví dụ 5: Tích các nghiệm của phương trình \({x^2} + \sqrt {{x^2} + 11} = 31\) có giá trị là:

A. 0 B. -1 C. 4 D. -4

Bài tập tự luận

Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp đánh giá để giải phương trình sau: \(\sqrt {x - 4} + \sqrt {6 - x} = 2\)

Ví dụ 2: Cho phương trình \(\sqrt {3 - x} + \sqrt[3]{x} = 2\).

a) Giải phương trình đã cho bằng phương pháp đặt ẩn phụ

b) Giải phương trình đã cho bằng phương pháp nhân liên hợp

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a) \(2{x^2} - 6x - 1 = \sqrt {4x + 5} \)

b) \(x + \sqrt {5 + \sqrt {x - 1} } = 6\)