Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Hệ hai phương trình hai ẩn

a) Định nghĩa

Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: 

\(\left\{ \begin{array}{l} {a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\ {a_2}x + {b_2}y = {c_2} \end{array} \right.\);\(\left( {{a_1}^2 + {b_1}^2 \ne 0,{a_2}^2 + {b_2}^2 \ne 0} \right)\)

b) Giải và biện luận hệ hai phương trình hai ẩn

Cách 1:

Tính các định thức: 

\(D = \left| \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{b_2}} \end{array} \end{array} \right|\),\({D_x} = \left| \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}&{{b_1}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {{c_2}}&{{b_2}} \end{array} \end{array} \right|\)\({D_y} = \left| \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{c_2}} \end{array} \end{array} \right|\)

► Với \(D \ne 0\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

\(x = \dfrac{{{D_x}}}{D}\)\(y = \dfrac{{{D_y}}}{D}\).

► \(D = 0\) Xảy ra hai trường hợp

Trường hợp 1: \({D_x} \ne 0\) hoặc \({D_y} \ne 0\). Hệ phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: \({D_x} = {D_y} = 0\). Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Cách 2:

Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số đưa hệ hai phương trình hai ẩn thành một phương trình, một ẩn để biện luận.

 

Một số dạng toán thường gặp

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt 3 x - y = 1\\ 5{\rm{x}} + \sqrt 2 y = \sqrt 3 \end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{6}{x} + \dfrac{5}{y} = 3\\ \dfrac{9}{x} - \dfrac{{10}}{y} = 1 \end{array} \right.\)

Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l} m{\rm{x}} - y = 2m\\ 4{\rm{x}} - my = m + 6 \end{array} \right.\)(\(m\) là tham số)

Ví dụ 3: Tìm \(m\) để hệ phương trình vô nghiệm

\(\left\{ \begin{array}{l} 2{m^2}x + 3(m - 1)y = 3\\ m(x + y) - 2y = 2 \end{array} \right.\)

Ví dụ 4: Tìm các giá trị của \(b\) sao cho với mọi \(a\) thì hệ phương trình có nghiệm.

\(\left\{ \begin{array}{l} x + 2ay = b\\ ax + (1 - a)y = {b^2} \end{array} \right.\)