Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ.

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

a) Bất phương trình bậc nhất hai  ẩn và miền nghiệm của nó.

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng:

\(ax + by + c < 0,ax + by + c > 0,ax + by + c \le 0,ax + by + c \ge 0\)

trong đó a, b, c là những số thực đã cho; a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số.

Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) sao cho \(a{x_0} + b{y_0} < c\) gọi là một nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c < 0,\)

Nghiệm của các bất phương trình dạng \(ax + by > c,ax + by \le c,ax + by \ge c\) cũng được định nghĩa tương tự.

- Trong mặt phẳng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình.

b) Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Định lí: Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng (d): \(ax + by + c = 0\) chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình \(ax + by + c > 0\), nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình \(ax + by + c < 0.\)

Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c < 0\), ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau:

Bước 1: Vẽ đường thẳng (d): \(ax + by + c < 0.\)

Bước 2: Xét một điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không nằm trên (d).

- Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\)thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c < 0.\)

- Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\)thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0.\)

Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng \(ax + by + c \le 0\)hoặc \(ax + by + c \ge 0\) thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ.

2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:

- Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn lại.

- Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.

Dạng 1: Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau: \(x - 3y \ge 0\).

Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y - 2 < 0\\ x - y + 3 \ge 0 \end{array} \right.\)

 

Ví dụ 3: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2 > 0\\ 2x - 3y - 6 \le 0\\ x - 2y + 3 \le 0 \end{array} \right.\)

Dạng 2: Ứng dụng vào bài toán kinh tế.

Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất có liên quan chặt chẽ đến quy hoạch tuyến tính. Đó là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế.

Lưu ý: Ta thừa nhận kết quả sau: Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức \(P(x;y) = ax + by\) \(\left( {b \ne 0} \right)\) trên miền đa giác lồi (kể cả biên) đạt điểm tại một đỉnh nào đó của đa giác".

Một số ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa. Nơi cho thuê xe chỉ có 10 xe hiệu MITSUBISHI và 9 xe hiệu FORD. Một chiếc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở 20 người và 0,6 tấn hàng. Một chiếc xe hiệu FORD có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng. Tiền thuê một xe hiệu MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là 3 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất?

A. 4 xe hiệu MITSUBISHI và 5 xe hiệu FORD.

B. 4 xe hiệu MITSUBISHI và 4 xe hiệu FORD.

C. 4 xe hiệu MITSUBISHI và 6 xe hiệu FORD.

D. 5 xe hiệu MITSUBISHI và 4 xe hiệu FORD.

Ví dụ 2: Nhân dịp tết Trung Thu, xí nghiệp sản xuất bánh Trăng muốn sản xuất hai loại bánh: đậu xanh, bánh dẻo nhân đậu xanh. Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, đậu, bột, trứng, mứt, ... Giả sử số đường có thể chuẩn bị được là 300kg, đậu là 200kg, các nguyên liệu khác bao nhiêu cũng có. Sản xuất một cái bánh đậu xanh cần 0,06kg đường; 0,08kg đậu và cho lãi 2000 đồng. Sản xuất một cái bánh dẻo cần 0,07kg đường; 0,04kg đậu và cho lãi 1800 đồng.

Cần lập kế hoạch để sản xuất mỗi loại bánh bao nhiêu cái để không bị động về đường, đậu và tổng số lãi thu được là lớn nhất (nếu sản xuất bao nhiêu cũng bán hết)?

A. 625 bánh đậu xanh và 3750 bánh dẻo.

B. 628 bánh đậu xanh và 3758 bánh dẻo.

C. 629 bánh đậu xanh và 3759 bánh dẻo.

D. 630 bánh đậu xanh và 3760 bánh dẻo.