Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Hệ phương trình có một phương trình bậc nhất

► Dạng tổng quát: \(\left\{ \begin{array}{l} ax + by = c\\ f(x,y) = d \end{array} \right.\)

► Dấu hiệu nhận biết: Trong hệ luôn có một phương trình bậc nhất hai ẩn.

► Phương pháp: Sử dụng phương pháp thế

► Một số ví dụ minh họa

Giải các hệ phương trình sau:

1) \(\left\{ \begin{array}{l} y + {x^2} = 4x\\ 2x + y - 5 = 0 \end{array} \right.\)

2) \(\left\{ \begin{array}{l} 3{\rm{x}} - 4y + 1 = 0\\ xy = 3(x + y) - 9 \end{array} \right.\)

3) \(\left\{ \begin{array}{l} 2{\rm{x}} - y = 3\\ {x^3} = xy + 2 \end{array} \right.\)

4) \(\left\{ \begin{array}{l} x(x + y + 1) - 3 = 0\\ {(x + y)^2} - \frac{5}{{x{}^2}} + 1 = 0 \end{array} \right.\)

 

II. Hệ phương trình đối xứng loại 1

► Dạng tổng quát: \(\left\{ \begin{array}{l} f(x,y) = 0\\ g(x,y) = 0 \end{array} \right.\)

► Dấu hiệu nhận biết: Khi thay đổi vị trí \(x\)\(y\) cho nhau, hệ phương trình không thay đổi: 

\(\left\{ \begin{array}{l} f(x,y) = f(y,x)\\ g(x,y) = g(y,x) \end{array} \right.\)

► Phương pháp: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} S = x + y\\ P = x.y \end{array} \right.\) Điều kiện \({S^2} \ge 4P\)

► Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + xy = 7\\ {x^2} + {y^2} = 10 \end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l} x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y} = 5\\ {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} + {y^3} + \frac{1}{{{y^3}}} = 20 \end{array} \right.\)

Ví dụ 2: Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm.

\(\left\{ \begin{array}{l} x + y + xy = m\\ {x^2}y + x{y^2} = m - 1 \end{array} \right.\)

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = 2m - 1\\ {x^2} + {y^2} = 2{m^2} + 2m - 3 \end{array} \right.\)

Gọi \((x,y)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Tìm m để \(x.y\) nhỏ nhất.

 

III. Hệ phương trình đối xứng loại 2

► Dạng tổng quát: \(\left\{ \begin{array}{l} f(x,y) = 0\\ f(y,x) = 0 \end{array} \right.\)

► Dấu hiệu nhận biết: khi thay đổi vị trí \(x\)\(y\) cho nhau thì phương trình thứ nhất trở thành phương trình thứ hai và ngược lại.

► Phương pháp: Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l} f(x,y) - f(y,x) = 0\\ f(x,y) = 0 \end{array} \right.\)

► Một số ví dụ minh họa

Giải các phương trình sau:

1) \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 2x = y\\ {y^3} + 2y = x \end{array} \right.\)

2) \(\left\{ \begin{array}{l} 3{\rm{x}} = \frac{{{x^2} + 2}}{{{y^2}}}\\ 3y = \frac{{{y^2} + 2}}{{{x^2}}} \end{array} \right.\)

3) \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2y + x + 2\\ {y^3} = 2{\rm{x}} + y + 2 \end{array} \right.\)

4) \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = {y^3} - 3{y^2} + 2y\\ {y^2} = {x^3} - 3{x^2} + 2x \end{array} \right.\)

 

IV. Hệ phương trình đẳng cấp

► Dạng tổng quát: \(\left\{ \begin{array}{l} {a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2} = {d_1}\\ {a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2} = {d_2} \end{array} \right.\)

► Dấu hiệu nhận biết: Bậc của các ẩn là cùng bậc với nhau như bậc 2 (hoặc là 3, bậc 4,....)

► Phương pháp: Từ hệ ta có: \(({a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2}){d_1} = {d_2}({a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2})\)(1)

Bước 1: Rút gọn

Bước 2: Xét \(y = 0\) có phải là nghiệm của hệ hay không, xét \(y \ne 0\).

Bước 3: Chia phương trình (1) cho  \({y^2}\) ta được phương trình bậc hai ẩn \(\frac{x}{y}\)

► Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - xy + {y^2} = 1\\ 2{x^2} - 3xy + 4{y^2} = 3 \end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} + 5xy - 4{y^2} = 38\\ 5{x^2} - 9xy - 3{y^2} = 15 \end{array} \right.\)

Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm.

\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 2xy + {y^2} = 11\\ {x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17 + m \end{array} \right.\)

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau.

\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 8{y^2} = 12\\ {x^3} + 2x{y^2} + 12y = 0 \end{array} \right.\)