Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ

1. Định lí côsin 

Trong tam giác \(ABC\) với \(BC=a,AC=b\) và \(AB=c.\) Ta có:

  • \(a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A\)
  • \(b^2=c^2+a^2-2ca.\cos B\)
  • \(c^2=a^2+b^2-2ab.\cos C\)

                                                           

   Hệ quả:

  • \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
  • \(\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
  • \(\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

2. Định lí sin

Trong tam giác \(ABC\) với \(BC=a,AC=b,AB=c\) và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có: \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}.\)

3. Độ dài trung tuyến

Cho tam giác \(ABC\) với \(m_a,m_b,m_c\) lần lượt là trung tuyến kẻ từ \(A,B,C\). Ta có:

  • \(m_a^2 = \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\)
  • \(m_b^2 = \dfrac{{2\left( {{a^2} + {c^2}} \right) - {b^2}}}{4}\)
  • \(m_c^2 = \dfrac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}}}{4}\)

4. Diện tích tam giác

Cho tam giác \(ABC\), kí hiệu:

  • \(h_a,h_b,h_c\) là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh \(BC,CA,AB;\)
  • \(R,r\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác \(ABC\);
  • \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi tam giác;
  • \(S\) là diện tích tam giác.

Khi đó ta có:

  • \(S = \dfrac{1}{2}a{h_a} = \dfrac{1}{2}b{h_b} = \dfrac{1}{2}c{h_c};\)
  • \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ca\sin B = \dfrac{1}{2}ab\sin C;\)
  • \(S = \dfrac{{abc}}{{4R}} = p.r;\)
  • \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) (công thức Hê - rông).

II. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Xác định các yếu tố trong tam giác 

Phương pháp:

  • Vận dụng các định lý sin, côsin, trung tuyến, diện tích.
  • Chú ý các quan hệ trực tiếp và quan hệ trung gian giữa các đại lượng cho và đại lượng cần tính, các tam giác đặc biệt.

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho tam giác \(ABC\) biết

      a) \(a=12,b=13,c=15.\) Tính \(\cos A\) và góc \(A.\)

      b) \(AB=5,AC=8,\widehat A=60^0.\) Tính cạnh \(BC.\)

Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác biết \(\widehat A=60^0,b=10,c=20.\)

      A. \(50\sqrt3.\)                       B. \(50.\)                           C. \(50\sqrt2.\)                      D\(50\sqrt5.\)

Ví dụ 3: Cho tam giác \(ABC\) có \(a=2,b=\sqrt6,c=\sqrt3+1.\) Góc \(B\) bằng:

      A. \(115^0.\)                        B. \(75^0.\)                          C. \(60^0.\)                         D. \(53^032'.\)

Ví dụ 4: Cho tam giác \(ABC\) có \(a=7,b=8,c=6. \) Khi đó \(h_a\) bằng:

      A. \(\dfrac{{3\sqrt {15} }}{2}.\)                    B. \(\dfrac{{2\sqrt {15} }}{3}.\)                      C. \(\dfrac{2}{{3\sqrt {15} }}.\)                    D. \(\dfrac{3}{{2\sqrt {15} }}.\)

Ví dụ 5: Cho tam giác \(AB=6,AC=8\) và \(\widehat A=60^0.\) Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\), tính diện tích \(\Delta IBC.\)

Dạng 2: Chứng minh hệ thức

Phương pháp:

  • Vận dụng các phương pháp chung để chứng minh đẳng thức; biến đổi vế này sang vế kia, biến đổi tương đương hoặc so sánh với biểu thức trung gian, tỉ lệ thức,...
  • Sử dụng các định lý cơ bản về tam giác, tam giác vuông: định lý Pitago, định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông,...

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tam giác \(ABC\) có \(b+2c=2a.\) Chứng minh rằng:

      a) \(2\sin A=\sin B+\sin C.\)

      b) \(\dfrac{2}{{{h_a}}} = \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}}.\)

Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) có \(bc=a^2.\) Chứng minh rằng \(\sin^2A=\sin B.\sin C.\)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có \(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \dfrac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).\)

Dạng 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

  • Giải tam giác là tìm các cạnh và các góc còn lại sau khi biết các giả thiết: cho ba cạnh, hai cạnh và một góc, một cạnh và hai góc. Vận dụng các định lí sin, côsin với chú ý \(\widehat A+\widehat B+\widehat C=180^0\) để tính toán.
  • Ứng dụng thực tế là chuyển các bài toán thực tế thành bài toán tam giác, cho biết yếu tố xác định rồi tìm đại lượng nào đó.

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho tam giác \(ABC,\) biết \(c=35,\widehat A=40^0,\widehat C=120^0.\) Giải tam giác \(ABC.\)

Ví dụ 2: Giải tam giác \(ABC\) biết \(a=6,b=6,3; \widehat C=54^0.\)

Ví dụ 3: Giả sử \(CD=h\) là chiều cao của tháp trong đó \(C\) là chân tháp. Chọn hai điểm \(A,B\) trên mặt đất sao cho ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng. Ta đo khoảng cách \(AB\) và các góc \(\widehat{CAD},\widehat{CBD}\). Chẳng hạn ta đo được \(AB=24m,\widehat{CAD}=\alpha=63^0,\widehat{CBD}=\beta=48^0.\) Tính chiều cao của tháp.

Ví dụ 4: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí \(A\), đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc \(60^0.\) Tàu \(B\) chạy với tốc độ \(20\) hải lí một giờ. Tàu \(C\) chạy với tốc độ \(15\) hải lí một giờ. Sau \(2\) giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?

Ví dụ 5: Khoảng cách từ \(A\) đến \(C\) không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy nên người ta làm như sau: Xác định một điểm \(B\) có khoảng cách \(AB=12km\) và đo được góc \(\widehat{ACB}=37^0.\) Hãy tính khoảng cách \(AC\) biết rằng \(BC=5km.\)