Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ.

1. Nhị thức bậc nhất và dấu của nó.

a) Định nghĩa nhị thức bậc nhất.

Nhị thức bậc nhất (đối với \(x\)) là biểu thức dạng \(ax+b\), trong đó a và b là hai số cho trước với \(a \ne 0.\) \({x_0} = - \dfrac{b}{a}\) được gọi là nghiệm của nhị thức bậc nhất \(f(x) = ax + b.\)

b) Dấu của nhị thức bậc nhất.

Định lí: Nhị thức bậc nhất \(f(x)=ax+b\) cùng dấu với hệ số \(a\) khi \(x\) lớn hơn nghiệm và trái với hệ số \(a\) khi \(x\) nhỏ hơn nghiệm của nó.

2. Một số ứng dụng.

a) Giải bất phương trình tích.

  • Dạng \(P(x) > 0\)  (1) (trong đó P(x) là tích các nhị thức bậc nhất).
  • Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).

b) Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu.

  • Dạng \(\dfrac{{P(x)}}{{Q(x)}} > 0\)   (2) (trong đó P(x), Q(x) là tích những nhị thức bậc nhất).
  • Cách giải: Lập bảng xét dấu của \(\dfrac{{P(x)}}{{Q(x)}}\). Từ đó suy ra tập nghiệm của (2).

 Chú ý: 

  • Không nên quy đồng và khử mẫu.
  • Rút gọn bớt các nhị thức có lũy thừa bậc chẵn (cần lưu ý trong việc rút gọn để tránh mất nghiệm).

c) Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ).

  • Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

Chú ý: Với \(B>0\) ta có \(\left| A \right| < B \Leftrightarrow - B < A < B;\left| A \right| > B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A < - B\\ A > B \end{array} \right..\)

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.

Dạng 1: Xét dấu của biểu thức chứa nhị thức bậc nhất

Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức \(f(x)=3x(2x+7)(9-3x).\)

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức \(g(x) = \dfrac{{4x - 12}}{{{x^2} - 4x}}.\)

Ví dụ 3: Cho biểu thức \(f(x)=(x+5)(3-x).\) Tập hợp tất cả các giá trị của \(x\) thỏa mãn bất phương trình \(f(x)\le0\) là:

       A. \(x\in(-\infty;5)\cup(3;+\infty).\)                         B. \(x\in(3;+\infty).\)

      C. \(x\in(-5;3).\)                                             D. \(x\in(-\infty5]\cup[3;+\infty).\)

Ví dụ 4: Tập hợp tất cả các giá trị của \(x\) để biểu thức \(f(x) = \dfrac{{(x + 3)(2 - x)}}{{x - 1}}\) dương là:

       A. \(x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty).\)                      B. \(x\in(-3;1)\cup(2;+\infty).\)

      C. \(x\in(-3;1)\cup(1;2).\)                                D. \(x\in(-\infty;-3)\cup(1;2).\)

Ví dụ 5: Tập hợp tất cả các giá trị của \(x\) để biểu thức \(f(x) = \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}} + 2\) mang dấu âm là:

      A. \(x\in(-\infty;-1).\)                                        B. \(x\in(-1;+\infty).\)

      C. \(x\in(-4;-1).\)                                          D. \(x\in(-\infty;-4)\cup(-1;+\infty).\)

Dạng 2: Ứng dụng xét dấu của nhị thức bậc nhất vào giải phương trình

Ví dụ 1: Bất phương trình \((x-1)(2-3x)\ge0\) có tập nghiệm là:

      A. \(S = \left[ {\dfrac{2}{3};1} \right].\)           B. \(S = \left( {\dfrac{2}{3};1} \right).\)          C. \(S = \left[ {\dfrac{2}{3};1} \right).\)         D. \(S = \left( {\dfrac{2}{3};1} \right].\)

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình \((x-2)(x^2-5x+4)<0\) là:

      A. \(S = \left( { - \infty ;1} \right).\)        B. \(S=(2;4).\)               C. \(S = \emptyset .\)                   D. \(S = ( - \infty ;1) \cup (2;4).\)

Ví dụ 3: Nghiệm của bất phương trình  \(\dfrac{{ - 2x + 4}}{{(2x - 1)(3x + 1)}} \le 0\) là:

      A. \(S = \left( { - \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2}} \right).\)                                        B. \(S= \left[ {2; + \infty } \right).\)         

      C. \(S = \left( { - \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2}} \right)\cup \left[ {2; + \infty } \right).\)                       D. \(S = \emptyset .\)

Ví dụ 4: Tập nghiệm của bất phương trình \(\dfrac{1}{{{{(x - 2)}^2}}} \le \dfrac{1}{{x + 4}}\) là:

      A. \(S=[4;+\infty).\)                                             B. \(S=(-4;0].\)

      C. \(S=(-4;0]\cup[4;+\infty).\)                              D. \(S = \emptyset .\)

Ví dụ 5: Bất phương trình \(|2x+1|<3x\) có tập nghiệm là:

      A. \(S = \left( {1; + \infty } \right).\)                                            B. \(S = \left( {\dfrac{1}{5}; + \infty } \right).\)

      C. \(S = \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{2}} \right).\)                                    D. \(S = \emptyset .\)