Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Chứng minh tính vuông góc và thiết lập điều kiện vuông góc

1. Phương pháp giải

Sử dụng điều kiện \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)

Chú ý: Ta có \(AB \bot CD \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0,\) để chứng minh \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\) thông thường chúng ta phân tích \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} \) qua hai vecto không cùng phương.

2. Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ giác \(ABCD.\) Chứng minh rằng hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(AB^2+CD^2=BC^2+AD^2.\)

Ví dụ 2: Cho hình vuông \(ABCD\)\(M\) là điểm nằm trên đoạn thẳng \(AC\) sao cho \({\rm{AM = }}\dfrac{{AC}}{4}\)\(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC.\) Chứng minh rằng \(BMN\) là tam giác vuông cân.

Ví dụ 3: Cho tam giác đều \(ABC\), độ dài cạnh là \(3a.\) Lấy \(M,N,P\) lần lượt nằm trên các cạnh \(BC,CA,AB\) sao cho \(BM=a,CN=2a,AP=x.\) Tìm \(x\) để \(AM\bot PN.\)

II. Ứng dụng trong phương tích đường tròn

►   Bài toán: Cho đường tròn \((O,R)\) và điểm \(M\) cố định. Một đường thẳng thay đổi đi qua \(M\) cắt đường tròn tại hai điểm \(A,B.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = M{O^2} - {R^2}.\)

►   Chứng minh: Vẽ đường kính \(BC\) của đường tròn \((O,R)\). Ta có \(\overrightarrow {MA} \) là hình chiếu của \(\overrightarrow {MC} \) lên đường thẳng \(MB.\)

Theo công thức hình chiếu, ta có:

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {MO} - \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right) = M{O^2} - O{B^2} = M{O^2} - {R^2}.\)

►   Từ bài toán trên ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa: Cho đường tròn \((O,R)\) và điểm \(M\) cố định. Một đường thẳng thay đổi đi qua \(M\) cắt đường tròn tại hai điểm \(A,B\). Khi đó \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = M{O^2} - {R^2}\) là đại lượng không đổi được gọi là phương tích của điểm \(M\) đối với đường tròn \((O,R)\), kí hiệu \(P_{M/(O)}.\)

►   Tính chất:

  • Cho hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(M.\) Điều kiện cần và đủ để bốn điểm \(A,B,C,D\) nội tiếp được đường tròn là \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \) (hay\(\overline {MA} .\overline {MB} = \overline {MC} .\overline {MD} \)).
  • Cho đường thẳng \(AB\) cắt \(\Delta\) ở \( M\) và điểm \(C\) trên đường thẳng \(\Delta\:(C\ne M).\) Điều kiện cần và đủ để \(\Delta\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) tại \(C\) là \(MA.MB=MC^2.\)

►   Ví dụ: Cho tam giác \(ABC\) nhọn có các đường cao \(AA',BB',CC'\) cắt nhau tại \(H.\) Chứng minh rằng \(HA.HA'=HB.HB'=HC.HC'.\)