Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

► Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức \(y = a{x^2} + bx + c\). Trong đó \(a,b,c \in R\) và \(a \ne 0\).

► Tập xác định \(D = R\)

► Đỉnh \(I\left( { - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}}; - \dfrac{\Delta }{{4{\rm{a}}}}} \right)\) với \(\Delta = {b^2} - 4{\rm{a}}c\).

► Trục đối xứng là đường \(x = - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}}\)

 

2. Sự biến thiên

► \(a > 0\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}}; + \infty } \right)\).

► \(a < 0\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}}} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}}; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên

bang bien thien ham bac hai

3. Đồ thị 

Nhận dạng đồ thị hàm số bậc hai với \(a>0\)\(a<0\).

do thi ham bac hai

 

II. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai

Phương pháp: Để vẽ đường parapol \(y = a{x^2} + bx + c\) (\(a \ne 0\)) ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh \(I\left( { - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}}; - \dfrac{\Delta }{{4{\rm{a}}}}} \right)\).

Bước 2: Vẽ trục đối xứng \(x = - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}}\)

Bước 3: Xác định tọa độ giao điểm của parapol với trục tung và trục hoành (nếu có).

Bước 4: Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng của parapol để nối các điểm còn lại.

 

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\), có đồ thị \((P)\).

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị \((P)\).

b) Nhận xét bảng biến thiên trong khoảng \((0;3)\)

c) Tìm tập hợp giá trị \(x\) sao cho \(y \le 0\)

d) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\).

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau

a) \(y = 7{x^2} - 3x + 10\)

b) \(y = - 2{x^2} - x + 1\)

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị của hàm số 

\(y = \left\{ \begin{array}{l} - x + 4\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:;x < 1\\ {x^2} - 4x + 3\:\:\:\:\:\:\:\:;x \ge 1 \end{array} \right.\)

 

Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

a) Dạng \(y = \left| {a{x^2} + bx + c} \right|\)

Bước 1: Vẽ đồ thị \(y = a{x^2} + bx + c\)

Bước 2: Vẽ đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) qua trục \(Ox\).

Bước 3: Lấy phần đồ thị bên trên trục \(Ox\).

b) Dạng \(y = a{x^2} + b\left| x \right| + c\)

Bước 1: Vẽ đồ thị \(y = a{x^2} + bx + c\)

Bước 2: Lấy phần đồ thị bên phải trục \(Oy\)

Bước 3: Vẽ đối xứng phần đồ thị vừa lấy qua trục \(Oy\)

 

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau

a) \(y = \left| {{x^2} + 2x - 3} \right|\)

b) \(y = {x^2} + 2\left| x \right| - 3\)

Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm của của phương trình:

\(\left( {x - 4} \right)\left| {x - 2} \right| - m = 0\)

 

Dạng 3: Xác định parabol khi biết một số giả thiết

Ví dụ 1: Xác định parabol \(y = a{x^2} + 3x - 2\), biết rằng parabol đó:

a) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

b) Có trục đối xứng \(x = - 3\)

c) Có đỉnh \(I = \left( { - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{11}}{4}} \right)\)

Ví dụ 2: Xác định parabol \(y = a{x^2} + bx + c\), biết rằng parabol đó:

a) Đi qua hai điểm \(M(1;5)\) và \(N( - 2;8)\).

b) Có đỉnh \(I(2; - 2)\).

c) Đi qua điểm \(A(3; - 4)\) và có trục đối xứng \(x = - \frac{3}{4}\)

Ví dụ 3: Cho hàm số \(y = m{x^2} - 2mx - 3m - 2\) \(\left( {m \ne 0} \right)\).

Xác định \(m\) để đỉnh \(I\) của đồ thị hàm số đã cho thuộc được thẳng \(y = 3x - 1\).

 

Dạng 4: Bài toán tương giao

Cho hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\). Khi đó ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

\(f(x) = g(x)\). Giải phương trình tìm \(x\).

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm các giao điểm của hai đồ thị hàm số sau:

a) \(y = 2x - 3\) và \(y = {x^2} - 5x + 9\).

b) \(y = 2{x}^2 + x - 3\) và \(y = - {x^2} + 3x + 2\).

Ví dụ 2: Cho parabol\( (P)\)\(y = {x^2} - 4x + 3\) và đường thẳng\( d\)\(y = mx + 3\).

Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm có hoành độ là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}^3 + {x_2}^3 = 8\).

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị hàm số \(y = m{x^2} + 2(m - 2)x - 3m + 1\) luôn đi qua hai điểm cố định.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng parabol \(y = 2{x^2} - 4(2m - 1)x + 8{m^2} - 3\) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.