Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ

1. Phương trình đường tròn

►   Phương trình đường tròn \((C)\) tâm \(I(a;b)\), bán kính \(R\) là: \(\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=R^2}\)

►   Dạng khai triển của \((C)\) là: \(\boxed{x^2+y^2-2ax-2by+c=0}\) với \(c=a^2+b^2-R^2.\)

►   Phương trình \(x^2+y^2+2ax+2by+c=0\) với \(a^2+b^2-c>0\)là phương trình đường tròn tâm \(I(-a;-b)\) bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2-c}.\)

2. Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng, đường tròn với đường tròn

►   Vị trí tương đối của điểm \(M\) và đường tròn \((C)\):

  • Nếu \(IM<R\) thì điểm \(M\) nằm trong đường tròn;
  • Nêu \(IM=R\) thì điểm \(M\) thuộc đường tròn;
  • Nếu \(IM>R\) thì điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn.

►   Vị trí tương đối giữa đường thẳng \(\Delta\) và đường tròn \((C)\):

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I\) và bán kính \(R\), khoảng cách từ \(I\) đến đường thẳng \(\Delta\) là \(d(I;\Delta)\):

  • Nếu \(d(I;\Delta)<R\) thì \(\Delta\) cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt;
  • Nếu \(d(I;\Delta)=R\) thì \(\Delta\) tiếp xúc với đường tròn;
  • Nếu \(d(I;\Delta)>R\) thì \(\Delta\) không có điểm chung.

►   Vị trí tương đối giữa đường tròn \((C)\) và đường tròn \((C')\):

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I\) và bán kính \(R\); đường tròn \((C')\) có tâm \(I'\) và bán kính \(R'\):

  • Nếu \(II'>R+R'\) thì \((C)\) và \((C')\) ở ngoài nhau;
  • Nếu \(II'=R+R'\) thì \((C)\) và \((C')\) tiếp xúc ngoài với nhau;
  • Nếu \(II'<|R-R'|\) thì \((C)\) và \((C')\) không cắt nhau và ở trong nhau;
  • Nếu \(II'=|R-R'|\) thì \((C)\) và \((C')\) tiếp xúc trong với nhau;
  • Nếu \(|R-R'|<II'<R+R'\) thì \((C)\) và \((C')\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

I. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn

Phương pháp:

►   Cách 1: Đưa phương trình về dạng: \((C):{x^2+y^2-2ax-2by+c=0}\quad(1)\)

Xét dấu biểu thức \(P=a^2+b^2-c\)

  • Nếu \(P>0\) thì \((1)\) là phương trình đường tròn \((C)\) có tâm \(I(a;b)\) và bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2-c}.\)
  • Nếu \(P\le0\) thì \((1)\) không phải là phương trình đường tròn.

►   Cách 2: Đưa phương trình về dạng: \({(x-a)^2+(y-b)^2=P}\quad(2)\)

  • Nếu \(P>0\) thì \((2)\) là phương trình đường tròn có tâm \(I(a;b)\) và bán kính \(R=\sqrt P.\)
  • Nếu \(P\le0\) thì \((2)\) không phải là phương trình đường tròn.

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho đường tròn có dạng \((x-3)^2+(y+2)^2=9.\) Tìm tâm và bán kính?

      A. \(I(3;-2);R=3.\)        B. \(I(3;2);R=-3.\)          C. \(I(3;-2);R=5.\)         D. \(I(-3;2);R=3.\)

Ví dụ 2: Cho đường tròn có phương trình \(x^2+y^2-6x+10y-2=0.\) Tìm tọa độ tâm của đường tròn.

      A. \(I(-3;5).\)                   B. \(I(3;-5).\)                     C. \(I(5;3).\)                        D. \(I(5;-3).\)

Ví dụ 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn?

      A. \(x^2+y^2+2x-4y+9=0.\)                             B. \(2x^2+2y2-8x-4y-6=0.\)

      C. \(x^2+y^2-6x+4y+13=0.\)                           D. \(5x^2+4y^2+x-4y+1=0.\)

Ví dụ 4: Cho đường cong \((C_m):x^2+y^2-2mx-4(m-2)y+6-m=0.\) Tìm điều kiện để phương trình trên là phương trình đường tròn.

      A. \(m>2.\)                     B. \(\left\{ \begin{gathered} m > 2 \hfill \\ m < 1 \hfill \\ \end{gathered} \right..\)                   C. \(\left[ \begin{gathered} m > 2 \hfill \\ m < 1 \hfill \\ \end{gathered} \right..\)                    D. \(m < 1.\)

Ví dụ 5: Cho \((C):x^2+y^2-2x+4y-m=0.\) Tìm \(m\) để \((C)\) có bán kính \(R=3.\)

      A. \(m=3.\)                    B. \(m=4.\)                        C. \(m=-3.\)                     D. \(m=-4.\)

Dạng 2: Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng, đường tròn với đường tròn

Ví dụ 1: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 2x + \dfrac{4}{5}=0\) và đường thẳng \(d:mx - y - 2m + 3 = 0,\:m \in \mathbb{R}.\) Với những giá trị nào của tham số \(m\) thì đường thẳng \(d\) và đường tròn \((C)\) không có điểm chung.

      A. \(m \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).\)                               B. \(m\in(1;3).\)

      C. \(m \in \left( {2;\dfrac{{11}}{2}} \right).\)                                               D. \(m \in \left( { - \infty ;2} \right)\left( {\dfrac{{11}}{2}; + \infty } \right).\)

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn \(({C_1}):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) và \(({C_2}):{x^2} + {y^2} + 2x - 2y - 14 = 0.\) Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn.

      A. Cắt nhau.               B. Đồng tâm.                  C. Đựng nhau.                D. Trùng nhau.

Ví dụ 3: Cho hai đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 2x - 2my + {m^2} = 0\) và \((C'):{(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} = {m^2}.\) Tìm \(m\) để \((C)\) và \((C')\) tiếp xúc ngoài.

      A. \(m=0.\)                   B. \(m=-3.\)                     C. \(- 1 < m < 1.\)             D. \(m = \dfrac{9}{4}.\)

Ví dụ 4: Cho \((C):x^2+y^2-4x-8y+16=0\) và \((d):y=x+m.\) Tìm \(m\) để \((d)\) cắt \((C)\) tại \(2\) điểm \(A,B\) sao cho \(\Delta OAB\) là tam giác đều.

      A. \(m=2\pm \sqrt3.\)         B. \(m=2\pm \sqrt6.\)              C. \(m=3.\)                      D. \(m < 0.\)

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường tròn \((C):x^2+y^2-6x-2y+1=0.\) Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M(0;2)\) và cắt đường tròn \((C)\) theo dây cung có độ dài bằng \(4.\)

      A. \(2x + y - 2 = 0;x + 2y + 4 = 0.\)                  B. \(2x+y+2=0;x+2y+4=0.\)

      C. \(2x+y-2=0;x-2y+4=0.\)                  D. \(2x+y+2=0;x-2y+4=0.\)