Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ

1. Viết phương trình đường tròn

Muốn viết được phương trình đường tròn ta cần xác định tâm và bán kính đường tròn, khi đó phương trình đường tròn \((C)\) tâm \(I(a;b)\), bán kính \(R\) là: \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2.\)

Một số dạng viết phương trình thường gặp:

Dạng 1: \((C)\) có tâm \(I\) và đi qua điểm \(A\): Bán kính \(R=IA.\)

Dạng 2: \((C)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\): Bán kính \(R=d(I,\Delta).\)

Dạng 3: \((C)\) có đường kính \(AB:\)

  • Tâm \(I\) là trung điểm của \(AB.\)
  • Bán kính \(R=\dfrac{AB}{2}.\)

Dạng 4\((C)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và có tâm \(I\) nằm trên đường thẳng \(\Delta\):

  • Viết phương trình đường trung trực \(d\) của đoạn \(AB.\)
  • Xác định tâm \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(\Delta\).
  • Bán kính \(R=IA.\)

Dạng 5: \((C)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\):

  • Viết phương trình đường thẳng trung trực \(d\) của đoạn \(AB.\)
  • Tâm \(I\) của \((C)\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{gathered} I \in d \hfill \\ d(I;\Delta ) = IA \hfill \\ \end{gathered} \right..\)
  • Bán kính \(R=IA.\)

Dạng 6: \((C)\) đi qua điểm \(A\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\) tại điểm \(B.\)

  • Viết phương trình đường trung trực \(d\) của đoạn \(AB.\)
  • Viết phương trình đường thẳng \(\Delta'\) đi qua \(B\) và vuông góc với \(\Delta\).
  • Xác định tâm \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(\Delta'\).
  • Bán kính \(R=IA.\)

Dạng 7: \((C)\) đi qua điểm \(A\) và tiếp xúc với hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2:\)

  • Tâm \(I\) của \((C)\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{gathered} d(I;{\Delta _1}) = d(I;{\Delta _2}) \hfill \quad(1)\\ d(I;{\Delta _1}) = IA \hfill \quad\quad\:\quad(2)\\ \end{gathered} \right.\)
  • Bán kính \(R=IA.\)

Dạng 8: \((C)\) tiếp xúc với hai đường thẳng \(\Delta_1,\:\Delta_2\) và có tâm nằm trên đường thẳng \(d:\)

  • Tâm \(I\) của \((C)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{gathered} d(I;{\Delta _1}) = d(I;{\Delta _2}) \hfill \\ I \in d \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
  • Bán kính\(R=d(I;\Delta_1).\)

Dạng 9: \((C)\) đi qua ba điểm không thẳng hàng \(A,B,C\) (đường tròn ngoại tiếp tam giác):

►   Cách 1: 

  • Phương trình của \((C)\) có dạng: \(x^2+y^2+2ax+2by+c=0\quad(*)\) \((a^2+b^2-c>0).\)
  • Lần lượt thay tọa độ của \(A,B,C\) vào \((*)\) ta được hệ phương trình.
  • Giải hệ phương trình này ta tìm được \(a,b,c\Rightarrow\) phương trình của \((C)\).

►   Cách 2:

  • Tâm \(I\) của \((C)\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{gathered} IA = IB \hfill \\ IA = IC \hfill \\ \end{gathered} \right..\)
  • Bán kính \(R=IA=IB=IC.\)

Dạng 10: \((C)\) nội tiếp tam giác \(ABC:\)

  • Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác.
  • Xác định tâm \(I\) là giao điểm của hai đường phân giác trên.
  • Bán kính \(R=d(I;AB).\)

2. Tiếp tuyến của đường tròn \((C)\)

Cho đường tròn \((C)\) có tâm \(I\), bán kính \(R\) và đường thẳng \(\Delta\)\(\boxed{\Delta \text{ tiếp xúc với }(C)\Leftrightarrow d(I,\Delta)=R}\)

Một số dạng viết phương trình tiếp tuyến thường gặp:

Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm \(M_0(x_0;y_0)\in(C)\):

  • \(\Delta\) đi qua \(M_0(x_0;y_0)\) và có VTPT \(\overrightarrow {I{M_0}} .\)

Dạng 2: Tiếp tuyến có phương trình cho trước:

  • Viết phương trình của \(\Delta\) có phương trình cho trước (phương trình chứa tham số \(t\)).
  • Dựa vào điều kiện: \(d(I;\Delta)=R\), ta tìm được \(t\). Từ đó suy ra phương trình của \(\Delta\).

Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm \(A(x_A;y_A)\) ở ngoài đường tròn \((C)\):

  • Viết phương trình của \(\Delta\) đi qua \(A\) (chứa \(2\) tham số).
  • Dựa vào điều kiện: \(d(I;\Delta)=R\), ta tìm được các tham số. Từ đó suy ra phương trình của \(\Delta\).

II. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Viết phương trình đường tròn

Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn có tâm \(I(1;-5)\) và đi qua \(O(0;0).\)

      A. \((x+1)^2+(y-5)^2=26.\)                                 B. \((x-1)^2+(y+5)^2=\sqrt {26}.\)

      C. \((x+1)^2+(y-5)^2=\sqrt{26}.\)                             D. \((x-1)^2+(y+5)^2=26.\)

Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn có đường kính \(AB\) với \(A(1;1)\) và \(B(7;5).\)

      A. \((x-4)^2+(y+3)^2=13.\)                                 B. \((x-4)^2+(y-3)^2=14.\)

      C. \((x-4)^2+(y+3)^2=14.\)                                D. \((x-4)^2+(y-3)^2=13.\)

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn \((C)\) đi qua ba điểm \(A(1;1),B(-1;2),C(0;-1).\)

      A. \(x^2+y^2+x-y-2=0.\)                                 B. \(x^2+y^2+x-2y-2=0.\)

      C. \(x^2+y^2+x-y-4=0.\)                                 D. \(2x^2+2y^2+x-y-2=0.\)

Ví dụ 4: Lập phương trình đường tròn \((C)\) có tâm \(I(-1;2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:x-2y+7=0.\)

      A. \((C):(x-1)^2+(y-2)^2=\dfrac{4}{5}.\)                        B. \((C):(x+1)^2+(y+2)^2=\dfrac{4}{5}.\)

      C. \((C):(x-1)^2+(y+2)^2=\dfrac{4}{5}.\)                       D. \((C):(x+1)^2+(y-2)^2=\dfrac{4}{5}.\)

Ví dụ 5: Phương trình đường tròn \((C)\) đi qua \(A(1;1),B(3;3)\) và có tâm \(I\) thuộc trục \(Ox\) có dạng:

      A. \(x^2+(y-4)^2=18.\)                                         B. \(2x^2+2y^2=9.\)

      C. \(x^2+y^2-10=0.\)                                           D. \((x-4)^2+y^2=10.\)

Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến với đường tròn

Ví dụ 1: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C)\) tại điểm \(M(-3;5)\) biết đường tròn \((C)\) có phương trình là: \((x-1)^2+(y+3)^2=9.\)

      A. \(x+2y=0.\)           B. \(x-2y+13=0.\)           C. \(x-2y+7=0.\)          D. \(x-y+13=0.\)

Ví dụ 2: Cho đường tròn \((C):x^2+y^2-4x-4y+4=0,\) điểm \(M(4;6).\) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) đi qua \(M.\)

      A. \(3x-4y+12=0.\)                                            B. \(3x-4y+8=0.\)

      C. \(3x-4y-12=0.\)                                           D. \(3x-4y+2=0.\)

Ví dụ 3: Cho đường tròn \((C)\) có phương trình: \(x^2+y^2-4x+8y+18=0.\) Tổng hệ số góc của hai phương trình tiếp tuyến của \((C)\) đi qua \(A(1;1)\) là:

      A. \(10.\)                       B. \(4.\)                                   C. \(12.\)                           D. \(3.\)

Ví dụ 4: Cho \((C):x^2+y^2-8x-6y=0.\) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(O(0;0)\) thuộc \((C)\).

      A. \(2x-3y=0.\)       B. \(2x+3y=0.\)                   C. \(4x+3y=0.\)           D. \(4x-3y=0.\)

Ví dụ 5: Cho đường tròn \((C)\) có phương trình \(x^2+y^2-4x+8y+18=0.\) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) đi qua \(A(1;-3).\)

      A. \(x-y-8=0.\)                                                B. \(x+y+4=0.\)

      C. \(x-y-4=0.\)                                               D. \(x+y-4=0.\)