Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ

1. Định nghĩa

Cho hai điểm cố định \(F_1,F_2\) với \(F_1F_2=2c\quad(c>0)\) và hằng số \(a>c.\) Elip \((E)\) là tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(\boxed{M\in(E)\Leftrightarrow MF_1+MF_2=2a}\)

Trong đó \(F_1,F_2\): các tiêu điểm của \((E)\)\(F_1F_2=2c\)tiêu cự của \((E)\).

                                                     

2. Phương trình chính tắc của elip

►   Phương trình chính tắc của elip: \(\boxed{\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1}\quad(a>b>0,b^2=a^2-c^2).\)

►   Tọa độ các tiêu điểm: \(F_1(-c;0),\:F_2(c;0).\)

►   Với \(M(x;y)\in(E);\:MF_1,MF_2\) được gọi là bán kính qua tiêu điểm của \(M\):

\(M{F_1} = a + \dfrac{c}{a}x,M{F_2} = a - \dfrac{c}{a}x.\)

3. Hình dạng và tính chất của elip

Elip có phương trình \(\boxed{\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1}\quad(a>b>0,b^2=a^2-c^2)\) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

                                                              

  • Tiêu điểm: Tiêu điểm trái \(F_1(-c;0)\), tiêu điểm phải \(F_2(c;0).\)
  • Các đỉnh: \(A_1(-a;0),A_2(a;0),B_1(0;-b),B_2(0;b).\)
  • Trục lớn: \(A_1A_2=2a\), nằm trên trục \(Ox\); trục nhỏ: \(B_1B_2=2b\), nằm trên trục \(Oy.\)
  • Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng \(x=\pm a;y=\pm b\) gọi là hình chữ nhật cơ sở.
  • Tâm sai: \(e=\dfrac{c}{a}<1.\)
  • Bán kính qua tiêu điểm của \(M(x_M;y_M)\in(E)\) là: \(MF_1=a+ex_M=a+\dfrac{c}{a}x_M,\:MF_2=a-ex_M=a-\dfrac{c}{a}x_M.\)

II. Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Elip có phương trình sau \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1.\) Xác định tọa độ các đỉnh của elip.

      A. \(A_1(-1;0),A_2(1;0),B_1(0;-1),B_2(0;1).\)            B. \(A_1(-2;0),A_2(2;0),B_1(0;-2,B_2(0;2).\)

      C. \(A_1(-1;0),A_2(1;0),B_1(0;-2),B_2(0;2).\)            D. \(A_1(-2;0),A_2(2;0),B_1(0;-1),B_2(0;1).\)

Ví dụ 2: Cho elip có phương trình: \(\dfrac{{{x^2}}}{16} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.\) Khi đó tọa độ tiêu điểm của elip là:

      A. \({F_1}( - \sqrt 7 ;0),{F_2}(\sqrt 7 ;0).\)                                     B. \({F_1}( - 16 ;0),{F_2}(16 ;0).\)

      C. \({F_1}( - 9 ;0),{F_2}(9 ;0).\)                                          D. \({F_1}( - 4 ;0),{F_2}(4 ;0).\)

Ví dụ 3: Viết phương trình chính tắc của elip \((E)\) có độ dài trục lớn là \(6\) và tâm sai \(e=\dfrac{2}{3}.\)

      A. \(\dfrac{{{x^2}}}{16} + \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1.\)                                                  B. \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1.\)

      C. \(\dfrac{{{x^2}}}{16} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1.\)                                                  D. \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1.\)

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy,\) cho elip \((E)\) có độ dài trục lớn bằng \(12\) và độ dài trục bé bằng \(6.\) Phương trình nào sau đây là phương trình của elip \((E)\).

      A. \(\dfrac{{{x^2}}}{144} + \dfrac{{{y^2}}}{36} = 1.\)                                                B. \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{36} = 1.\)

      C. \(\dfrac{{{x^2}}}{36} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.\)                                                  D. \(\dfrac{{{x^2}}}{144} + \dfrac{{{y^2}}}{36} = 1.\)

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy,\) phương trình \((E)\) đi qua điểm \(M(0;3),N\left( {3; - \dfrac{{12}}{5}} \right)\) là:

      A. \(\dfrac{{{x^2}}}{6} + \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1.\)                                                B. \(\dfrac{{{x^2}}}{25} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.\)

      C. \(\dfrac{{{x^2}}}{5} + \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1.\)                                               D. \(\dfrac{{{x^2}}}{36} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.\)