Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ

1. Định nghĩa

Cho hai điểm cố định \(F_1,F_2\) với \(F_1F_2=2c\quad(c>0)\) và hằng số \(a hypebol là tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(|MF_1-MF_2|=2a.\) 

  • Kí hiệu \((H)\).
  • \(F_1,F_2\) là tiêu điểm của \((H)\). Khoảng cách \(F_1F_2=2c\) là tiêu cự của \((H)\).

2. Phương trình chính tắc của hypebol

Phương trình chính tắc của hypebol: \(\boxed{\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{b} = 1}\quad(a,b > 0;{b^2} = {c^2} - {a^2}).\)

  • Tọa độ các tiêu điểm: \(F_1(-c;0),\:F_2(c;0).\)
  • Với \(M(x;y)\in(H),\:MF_1,MF_2\) được gọi là các bán kính qua tiêu điểm của \(M.\)

3. Hình dạng và tính chất của hypebol \((H)\)

                                                   

  • \((H)\) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
  • Tiêu điểm: Tiêu điểm trái \(F_1(-c;0)\), tiêu điểm phải \(F_2(c;0).\)
  • Các đỉnh: \(A_1(-a;0);A_2(a;0).\)
  • Trục \(Ox\) gọi là trục thực, trục \(Oy\) gọi là trục ảo của hypebol. Khoảng cách \(2a\) giữa hai đỉnh gọi là độ dài trục thực\(2b\) gọi là độ dài trục ảo.
  • Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là nhánh của hypebol.
  • Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng \(x=\pm a,y=\pm b\) gọi là hình chữ nhật cơ sở. Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệm cận của hypebol và có phương trình là \(y=\pm \dfrac{b}{a}x.\)
  • Tâm sai: \(e=\dfrac{c}{a}>1.\)
  • \(M(x_M;y_M)\in(H)\) thì: \(M{F_1} = \left| {a + {{e}}{{{x}}_M}} \right| = \left| {a + \dfrac{c}{a}{x_M}} \right|;\:M{F_2} = \left| {a - {{e}}{{{x}}_M}} \right| = \left| {a - \dfrac{c}{a}{x_M}} \right|.\)

II. Một số ví dụ thường gặp

Ví dụ 1: Cho hypebol \((H)\) có phương trình \(\dfrac{{{x^2}}}{6} - \dfrac{{{y^2}}}{8} = 1\). Tọa độ hai tiếp tiểm của \((H)\) là:

      A. \(F_1(-10;0),F_2(10;0).\)                                     B. \(F_1(-\sqrt6;0),F_2(\sqrt6;0).\)

      C. \(F_1(-6;0),F_2(6;0).\)                                        D. \(F_1(-8;0),F_2(8;0).\)

Ví dụ 2: Cho hypebol \((H)\) có phương trình \(5x^2-4y^2=20.\) Hypebol \((H)\) có tâm sai bằng:

      A. \(e=\dfrac{3}{2}.\)                      B. \(e=\dfrac{2}{3}.\)                      C. \(e=\dfrac{\sqrt5}{2}.\)                    D. \(e=\dfrac{\sqrt5}{3}.\)

Ví dụ 3: Viết phương trình chính tắc của \((H)\) biết \((H)\) có một tiêu điểm tọa độ là \((-4;0)\) và độ dài trục ảo bằng \(\sqrt{28}.\)

      A. \(\dfrac{{{x^2}}}{7} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.\)          B. \(\dfrac{{{x^2}}}{9} - \dfrac{{{y^2}}}{7} = 1.\)          C. \(\dfrac{{{x^2}}}{9} +\dfrac{{{y^2}}}{7} = 1.\)           D. \(\dfrac{{{x^2}}}{3} - \dfrac{{{y^2}}}{\sqrt7} = 1.\)

Ví dụ 4: Viết phương trình chính tắc của \((H)\) biết \((H)\) có tâm sai bằng \(\dfrac{\sqrt{13}}{3}\) và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng \(48.\)

      A. \(\dfrac{{{x^2}}}{18} - \dfrac{{{y^2}}}{2\sqrt2} = 1.\)      B. \(\dfrac{{{x^2}}}{18} - \dfrac{{{y^2}}}{8} = 1.\)          C. \(\dfrac{{{x^2}}}{3\sqrt2} - \dfrac{{{y^2}}}{2\sqrt2} = 1.\)       D. \(\dfrac{{{x^2}}}{8} - \dfrac{{{y^2}}}{18} = 1.\)

Ví dụ 5: Viết phương trình chính tắc của \((H)\) biết \((H)\) có tiêu cự bằng \(10\) và đường tiệm cận \(y=\pm\dfrac{4}{3}x.\)

      A. \(\dfrac{{{x^2}}}{16} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.\)         B. \(\dfrac{{{x^2}}}{16} +\dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.\)          C. \(\dfrac{{{x^2}}}{9} - \dfrac{{{y^2}}}{16} = 1.\)            D. \(\dfrac{{{x^2}}}{3} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1.\)