Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ

1. Định nghĩa

Cho điểm cố định \(F\) và đường thẳng cố định \(\Delta\) không đi qua \(F\). Parabol \((P)\) là tập hợp các điểm \(M\) các đều điểm \(F\) và đường thẳng \(\Delta\).

  • Điểm \(F\) gọi là tiêu điểm của parabol.
  • Đường thẳng \(\Delta\) được gọi là đường chuẩn của parabol.
  • \(p=d(F;\Delta)\) được gọi là tham số tiêu của parabol.

2. Phương trình chính tắc của parabol

Phương trình chính tắc của parabol: \(\boxed{y^2=2px}\quad(p>0).\)

  • Tọa độ tiêu điểm: \(F\left( {\dfrac{p}{2};0} \right).\)
  • Phương trình đường chuẩn: \(\Delta :x + \dfrac{p}{2} = 0.\)
  • Với \(M(x;y)\in(P),\) bán kính qua tiêu điểm của \(M\) là \(MF = x + \dfrac{p}{2}.\)

3. Hình dạng của parabol

                                                      

  • \((P)\) nằm về phía bên phải của trục tung.
  • \((P)\) nhận trục hoành làm trục đối xứng.
  • Tọa độ đỉnh \(O(0;0).\)
  • Tâm sai \(e=1.\)

II. Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho parabol \((P):y^2=4x.\) Tiêu điểm của parabol \((P)\) là:

      A. \((1;0).\)                      B. \((2;0).\)                    C. \((0;1).\)                   D. \((0;2).\)

Ví dụ 2: Parabol \((P)\) có phương trình \(y^2-x=0\), đường chuẩn là:

      A. \(\Delta:x=\dfrac{1}{4}.\)              B. \(\Delta:x=-\dfrac{1}{4}.\)       C. \(\Delta:x=\dfrac{1}{2}.\)            D. \(\Delta:x=-\dfrac{1}{2}.\)

Ví dụ 3: Phương trình chính tắc của parabol có đường chuẩn \(\Delta:x=-5\) là: 

      A. \(y=2\sqrt5x^2.\)             B. \(y=10x^2.\)             C. \(y=20x^2.\)              D. \(y=-5x^2.\)

Ví dụ 4: Lập phương trình chính tắc của \((P)\) biết tiêu điểm \(F\) trùng với tiêu điểm bên phải của elip \((E):5x^2+9y^2=45.\)

Ví dụ 5: Cho parabol \((P):y^2=6x\) và đường thẳng \(d\) vuông góc với trục đối xứng tại tiêu điểm \(F\) cắt \((P)\) tại hai điểm \(M,N.\) Tìm tọa độ các điểm \(M,N.\)