Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ

1. Tam thức bậc hai

►   Tam thức bậc hai (đối với \(x\) là biểu thức dạng \(ax^2+bx+c.\) Trong đó \(a,b,c\) là những số cho trước với \(a\ne0.\)

►   Nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0\) được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai \(f(x)=ax^2+bx+c;\:\Delta=b^2-4ac\) và \(\Delta'=b'^2-ac\) theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai \(f(x)=ax^2+bx+c.\)

2. Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau:

                                              

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai \(ax^2+bx+c=0\) với \(a\ne0:\)

  • \(ax^2+bx+c>0,\:\forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow\left\{ \begin{gathered} a > 0 \hfill \\ \Delta < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
  • \(ax^2+bx+c\ge0,\:\forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow\left\{ \begin{gathered} a > 0 \hfill \\ \Delta \le0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
  • \(ax^2+bx+c<0,\:\forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow\left\{ \begin{gathered} a < 0 \hfill \\ \Delta < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
  • \(ax^2+bx+c\le0,\:\forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow\left\{ \begin{gathered} a <0 \hfill \\ \Delta \le0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

II. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai

Phương pháp: Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức.

►   Đối với đa thức bậc cao \(P(x)\) ta làm như sau:

  • Phân tích đa thức \(P(x)\) thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất).
  • Lập bảng xét dấu của \(P(x)\). Từ đó suy ra dấu của đa thức đã cho.

   Đối với phân thức \(\dfrac{{P(x)}}{{Q(x)}}\) (trong đó \(P(x),Q(x)\) là các đa thức) ta làm như sau:

  • Phân tích đa thức \(P(x),Q(x)\) thành các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất).
  • Lập bảng xét dấu của \(\dfrac{{P(x)}}{{Q(x)}}\). Từ đó suy ra dấu của phân thức đã cho.

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét dấu của tam thức \(f(x)=3x^2-2x+1\):

      A. \(f(x)\ge0,\forall x\in\mathbb{R}.\)        B. \(f(x)>0,\forall x\in\mathbb{R}.\)      C. \(f(x)<0,\forall x\in\mathbb{R}.\)        D. \(f(x)\le0,\forall x\in\mathbb{R}.\)

Ví dụ 2: Cho tam thức \(-x^2+4x+5\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

      A. \(-x^2+4x+5>0\Leftrightarrow x\in(-1;5).\)                        B. \(-x^2+4x+5<0\Leftrightarrow x\in(-1;5).\)

      C. \(-x^2+4x+5>0\Leftrightarrow x\in(-\infty ;-1)\cup (5;+\infty) .\)  D. \(-x^2+4x+5<0\Leftrightarrow x\in(-\infty;-1).\)

Ví dụ 3: Xét dấu của các biểu thức sau: \((-x^2+x-1)(6x^2-5x+1).\)

      A. \((-x^2+x-1)(6x^2-5x+1)\) dương khi và chỉ khi \(x\in\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2}\right).\)

      B. \((-x^2+x-1)(6x^2-5x+1)\) âm khi và chỉ khi \(x\in\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2}\right).\)

      C. \((-x^2+x-1)(6x^2-5x+1)\) dương khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ;\dfrac{1}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right).\)

      D. \((-x^2+x-1)(6x^2-5x+1)\) âm khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ;\dfrac{1}{3}} \right) .\)

Ví dụ 4: Cho phân thức \(\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{ - {x^2} + 3x + 4}}\), mệnh đề đúng là:

      A. \(\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{ - {x^2} + 3x + 4}}\) âm khi và chỉ khi \(x\in(2;4).\)

      B. \(\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{ - {x^2} + 3x + 4}}\) dương khi và chỉ khi \(x\in(2;4).\)

      C. \(\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{ - {x^2} + 3x + 4}}\) dương khi và chỉ khi \(x\in(-\infty;-1)\cup(-1;2).\)

      D. \(\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{ - {x^2} + 3x + 4}}\) âm khi và chỉ khi \(x\in(-1;2)\cup(4;+\infty).\)

Ví dụ 5: Xét dấu phân thức \(x - \dfrac{{{x^2} - x + 6}}{{ - {x^2} + 3x + 4}}\).

Dạng 2: Bài toán chứa tham số liên quan đến tam thức bậc hai luôn mang một dấu

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của \(m\) để biểu thức \(f(x)=mx^2-x-1\) luôn âm.

      A. \( - \dfrac{1}{4} < m < 0.\)         B. \(- \dfrac{1}{4} < m.\)               C. \(m < 0.\)                 D. \(\left[ \begin{gathered} m > 0 \hfill \\ m < - \dfrac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right..\)

Ví dụ 2: Tìm \(m\) để \(3{x^2} - 2(m + 1)x - 2{m^2} + 3m - 2 \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)

      A. \(m < 1.\)                   B. \(m>-1.\)                  C. \(m\le-1.\)              D. Vô nghiệm.

Ví dụ 3: Hàm số \(y = \sqrt {(m + 1){x^2} - 2(m - 1)x + 3m - 3} \) có nghĩa với mọi \(x\) khi:

      A. \(m < 1.\)                   B. \(m\ge1.\)                     C. \(m\le-1.\)             D. \(m<-1.\)

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\) thì:

      a) Phương trình \(x^2-2(m+2)x-(m+3)=0\) luôn có nghiệm.

      b) Phương trình \((m^2+1)x^2+(\sqrt3m-2)+2=0\) luôn vô nghiệm.