Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

Phương pháp giải.

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) ta cần khử dấu GTTĐ. Sau đây là một số cách thường dùng để khử dấu GTTĐ.

►   Sử dụng định nghĩa và tính chất của dấu giá trị tuyệt đối:

Lưu ý: Sau đây là một số loại toán phương trình, bất phương trình cơ bản có thể thực hiện bằng phép biến đổi tương đương.

  • \(\left| {f(x)} \right| = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0\\ \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x)\\ f(x) = - g(x) \end{array} \right. \end{array} \right.\)
  • \(\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x)\\ f(x) = - g(x) \end{array} \right.\)
  • \(\left| {f(x)} \right| < g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g(x) > 0\\ - g(x) < f(x) < g(x) \end{array} \right.\)
  • \(\left| {f(x)} \right| > g(x)\) khi và chỉ khi:

       - TH 1: \(g(x) < 0\) và \(f(x)\) có nghĩa.

       - TH 2: \(\left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0\\ \left[ \begin{array}{l} f(x) < - g(x)\\ f(x) > g(x) \end{array} \right. \end{array} \right.\)

►   Đặt ẩn phụ là biểu thức chứa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình \(\left| { - {x^2} + 3x + 2} \right| < {x^2} - 3x + 2\) là:

      A. \(S = ( - \infty ;0) \cup (3; + \infty ).\)                       B. \(S=(0;3).\)

      C. \(S = ( - \infty ;1] \cup [2; + \infty ).\)                       D. \(S=(1;2).\)

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: \(|2x^2-3x-1|=-x^2+2x+1.\)

Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: \(3\left( {{x^2} - 4x} \right) - \left| {x - 2} \right| > 12.\)

Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau: \(\left| {{x^2} - x - 1} \right| \ge x - 1.\)

Ví dụ 5: Giải bất phương trình sau: \(|-x^2+3x+2|<x^2-3x+2.\)

Dạng 2: Phương trình và bất phương trình chứa căn.

Phương pháp giải.

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn mục đích chúng ta phải khử căn thức đi. Sau đây là một số phương pháp thường dùng:

►   Sử dụng phép biến đổi tương đương (Bình phương hai vế, phân tích thành nhân tử):

Lưu ý: Một số phương trình, bất phương trình cơ bản sử dụng phép biến đổi tương đương như sau:

Phương trình:

  • \(\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0;g(x) \ge 0\\ f(x) = g(x) \end{array} \right..\)
  • \(\sqrt {f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0\\ f(x) = {g^2}(x). \end{array} \right.\)

Bất phương trình:

  • \(\sqrt {f(x)} > \sqrt {g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) > g(x)\\ g(x) \ge 0 \end{array} \right.\)
  • \(\sqrt {f(x)} < g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0\\ g(x) > 0\\ f(x) < {g^2}(x) \end{array} \right.\)
  • \(\sqrt {f(x)} > g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} g(x) < 0\\ f(x) \ge 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0\\ f(x) > {g^2}(x) \end{array} \right. \end{array} \right.\)

►   Đặt ẩn phụ.

►   Phương pháp đánh giá:

Đối với phương trình ta thường làm như sau:

  • Cách 1: Tìm một nghiệm và chứng minh nó là nghiệm duy nhất.
  • Cách 2: Biến đổi hằng đẳng thức đưa về bất phương trình \(f(x) = 0\) trong đó \(f(x) \) là tổng các bình phương.
  • Cách 3: Với phương trình \(f(x)=g(x)\) có tập xác định D.

           Nếu  \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge m(x)\\ g(x) \le m(x) \end{array} \right.,\forall x \in D\) thì \(f(x)=g(x)\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = m(x)\\ g(x) = m(x) \end{array} \right..\)

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: \(\sqrt {{x^3} - x + 1} = \sqrt { - 2{x^2} - x + 2} .\)

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: \(\sqrt {x + 4} - \sqrt {1 - x} = \sqrt {1 - 2x} .\)

Ví dụ 3: Giải bất phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 6x + 4} < 2 - 2x - {x^2}.\)

Ví dụ 4: Giải bất phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 5x + 7} - \sqrt {3{x^2} + 5x + 2} \ge 1.\)

Ví dụ 5: Giải bất phương trình \(\sqrt {(x + 5)(3x + 4)} > 4(x - 1).\)