Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I - Kiến thức cơ bản cần nhớ.

Phương pháp: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

  • Bước 1: Xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.
  • Bước 2: Dựa vào định nghĩa: \(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }}\text{ }(x \ge 0)\\ - x{\rm{ }} \text{ }(x< 0) \end{array} \right.\) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
  • Bước 3: Viết hàm số về dạng được cho bởi nhiều công thức.
  • Bước 4: Khảo sát hàm số ứng với từng công thức.
  • Bước 5: Lập bảng biến thiên chung rồi vẽ đồ thị.

II - Một số dạng toán thường gặp.

Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = f(x)\) suy ra đồ thị hàm số \(\left( {{C_1}} \right):{y_1} = \left| {f(x)} \right|\) 

Ta có: \(\left( {{C_1}} \right):y = {y_1} = \left| y \right| = \left\{ \begin{array}{l} y{\rm{ }}\text{ }(y \ge 0)\\ - y{\rm{ }}\text{ }(y \le 0) \end{array} \right.\)

Do đó đồ thị \(\left( {{C_1}} \right):{y_1} = \left| {f(x)} \right|\) có hai phần đồ thị:

  • Phần 1: là phần đồ thị \(\left( C \right):y = f(x)\) nằm phía trên \(Ox.\)
  • Phần 2: là phần đồ thị \(\left( C \right):y = f(x)\) nằm phía dưới \(Ox\) lấy đối xứng qua \(Ox.\)

Dạng 2: Dựa vào đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = f(x)\) suy ra đồ thị hàm số \(\left( {{C_2}} \right):{y_2} = f\left( {\left| x \right|} \right)\)

Nhận xét: \(\left( {{C_2}} \right):{y_2} = f\left( {\left| x \right|} \right)\) là hàm số chẵn nên \(\left( {{C_2}} \right):{y_2} = f\left( {\left| x \right|} \right)\) nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.

Ta có: \(\left( {{C_2}} \right):{y_2} = f\left( {\left| x \right|} \right) = \left\{ \begin{array}{l} f(x) = y{\rm{\text{ } (x}} \ge {\rm{0) \ (1)}}\\ f( - x){\rm{ }}\text{ }(x \le 0) \end{array} \right.\)

Do đó đồ thị \(\left( {{C_2}} \right):{y_2} = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có hai phần đồ thị:

  • Phần 1: là phần đồ thị \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) nằm bên phải \(Oy\) (Do \((1)\) ta có)
  • Phần 2: là phần đồ thị của hàm số \((1)\) lấy đối xứng qua \(Oy\) vì hàm số chẵn.

Dạng 3: Dựa vào đồ thị \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) suy ra đồ thị hàm số \(\left( {{C_3}} \right):\left| {{y_3}} \right| = f(x)\)

Nhận xét: Nếu \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( {{C_3}} \right) \Rightarrow M\left( {{x_0}; - {y_0}} \right) \in \left( {{C_3}} \right)\) nên \(\left( {{C_3}} \right):\left| {{y_3}} \right| = f(x)\) nhận \(Ox\) làm trục đối xứng.

Ta có: \(\left( {{C_3}} \right):\left| {{y_3}} \right| = f(x) = y \Rightarrow {y_3} = y{\rm{ }}\)   \((y \ge 0)\)

Do đó đồ thị \(\left( {{C_3}} \right):\left| {{y_3}} \right| = f(x)\) có hai phần đồ thị:

  • Phần 1: là phần đồ thị \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) nằm phía trên \(Ox.\)
  • Phần 2: là phần đồ thị hàm số \(y = f(x)\)  với \({\rm{ }}x \ge 0\) lấy đối xứng qua \(Ox.\)

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^4} - 2{x^2} - 1} \right|.\)

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = |{x^3}| - 3{x^2} + 1.\)

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(|y| = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}.\)