Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Lũy thừa với số mũ nguyên.

a) Định nghĩa:

Cho \(\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}\) và \(\mathrm{a} \in \mathbb{R}\). Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a: \(a^{n}=a . a . a . . . a\)

Trong đó: a gọi là cơ số và n gọi là số mũ.

Với \(a \neq 0\)  thì  \(\left\{\begin{array}{l}{a^{0}=1} \\ {a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}}\end{array}\right.\) (Chú ý là \(0^{0}\) và \(0^{-n}\) không có nghĩa)

b) Tính chất:

Cho \(a \neq 0, b \neq 0 \text { và } m, n\) là các số nguyên, ta có:

\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\)

\(a^{m} : a^{n}=a^{m-n}\)

\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\)

\({\left( {a.b} \right)^n} = {a^n}.{b^n}\)

\({\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^n} = \dfrac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\)

\({\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^{ - n}} = {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^n}\)

2. Căn bậc n và lũy thừa với số mũ hữu tỉ

a) Căn bậc n 

Cho \(\mathrm{a} \in \mathbb{R}\)  và \(\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}\), ta có \(\mathrm{b} \in \mathbb{R}\)  là căn bậc n của a  \(\Leftrightarrow \mathrm{b}^{\mathrm{n}}=\mathrm{a}\).

+ Nếu \(\mathrm{a} \in \mathbb{R}\) thì a có duy nhất một căn bậc n lẻ là \(\sqrt[n]{a}\) .

+ Nếu \(a>0\)  thì a có đúng 2 căn bậc n chẵn là \( \sqrt[n]{a}\) và \(-\sqrt[n]{a}\)  (trong đó \(\sqrt[n]{a}>0\)  và \(-\sqrt[n]{a}<0\))

b) Tính chất \(a, b \geq 0 ; m, n \in \mathbb{N}^{*} \text { và } p, q \in \mathbb{Z}\). Khi đó:

+  \(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}\)

\(\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}\) \((b > 0)\)

\(\sqrt[n]{{{a^p}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^p}\) \(\left( {a > 0} \right)\)

\(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\)

+ Nếu \(\Large \frac{p}{n} = \frac{q}{m}\) thì \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[m]{{{a^q}}}\) \(\left( {a > 0} \right)\). Đặc biệt: \(\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^m}}}\) .

II. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

DẠNG 1: Tính giá trị của biểu thức chứa lũy thừa.

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức: \(P = \dfrac{{{2^3}{{.2}^{ - 1}} + {5^{ - 3}}{{.5}^4}}}{{{{10}^{ - 3}}:{{10}^{ - 2}} - {{(0,1)}^0}}}\)

Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức \(E = {3^{\sqrt 2 - 1}}{.9^{\sqrt 2 }}{.27^{1 - \sqrt 2 }}\)

Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức \(A = {\left( {a + 1} \right)^{ - 1}} + {\left( {b + 1} \right)^{ - 1}}\) với \(a = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 1}}\) và \(b = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{ - 1}}\).

Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức \(P = {\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)^{2017}}.{\left( {4\sqrt 3 - 7} \right)^{2016}}\)

Ví dụ 5: Biết: \(4^{x}+4^{-x}=23\). Tính giá trị của biểu thức \(P = {2^x} + {2^{ - x}}\)

DẠNG 2: Biến đổi, rút gọn, biểu diễn các biểu thức chứa lũy thừa.

Ví dụ 1: Đơn giản biểu thức \(\sqrt[4]{x^{8} \cdot(x+1)^{4}}\) , ta được:

A. \(x^{2}(x+1)\)             B. \(- {x^2}\left| {x + 1} \right|\)             C. \(x^{2}(x-1)\)               D. \(x^{2}|x+1|\)

Ví dụ 2: Cho biểu thức \(P = \sqrt[4]{{x\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt {{x^3}} }}\) với \(x > 0\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(\mathrm{P}=\mathrm{x}^{\frac{1}{2}}\)                      B. \(P=x^{\frac{13}{24}}\)                        C. \(\mathrm{P}={x}^{\frac{1}{4}}\)                     D. \(\mathrm{P}={x}^{\frac{2}{3}}\)

Ví dụ 3: Cho các số thực dương \( a\)\(b\). Rút gọn biểu thức:

\(P = \left( {\dfrac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\) được kết quả:

A. \(-1\)                             B. \(1\)                                   C. \(2\)                                D. \(-2\)

Ví dụ 4: Cho các số thực dương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức

\(P = \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} - 3{b^{\frac{1}{4}}}} \right).\left( {2{a^{\frac{1}{4}}} + 3{b^{\frac{1}{4}}}} \right).\left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)\)có dạng là \(P = xa + yb\). Tính \(x + y = ?\)

A. \(x + y = 97\)                 B. \(x + y = - 65\)                 C. \(x + y = 65\)                 D. \(x + y = -97\)

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức \(A = \dfrac{{{a^{\frac{4}{3}}} - 8{a^{\frac{1}{3}}}b}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + 2\sqrt[3]{{ab}} + 4{b^{\frac{2}{3}}}}}.{\left( {1 - 2\sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}} \right)^{ - 1}} - {a^{\frac{2}{3}}}\) (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa), ta được kết quả:

A. \(1\)                                B. \(a + b\)                              C. \(0\)                              D. \(2a - b\)

DẠNG 3: So sánh các lũy thừa.

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Cho \(\mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathbb{Z}\). Khi đó:

+ Với \(a>1\) thì \(a^{m}>a^{n} \Leftrightarrow m>n\).

+ Với \(0 < a < 1\) thì \(a^{m}>a^{n} \Leftrightarrow m.

2. Cho  \(a, b \geq 0 ; m, n \in \mathbb{N}^{*}\) và \(\mathrm{p}, \mathrm{q} \in \mathbb{Z}\). Khi đó:

+ Nếu \(n\) là số nguyên dương lẻ và  \(a < b\) thì \(\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\).

+ Nếu \(n\) là số nguyên dương chẵn và \(0 < a < b\) thì \(\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\).

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Kết luận nào đúng về số thực \(a\) nếu \({a^{ - 0,25}} > {a^{ - \sqrt 3 }}\)?

A. \(1 < a < 2\)                     B. \(a < 1\)                     C. \(0 < a < 1\)                     D. \(a > 1\)

Ví dụ 2: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

A. \((2-\sqrt{2})^{3}<(2-\sqrt{2})^{4}\)                                   B. \((\sqrt{11}-\sqrt{2})^{6}>(\sqrt{11}-\sqrt{2})^{7}\)

C. \((4-\sqrt{2})^{3}<(4-\sqrt{2})^{4}\)                                   D. \((\sqrt{3}-\sqrt{2})^{4}<(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{5}\)

Ví dụ 3: Với giá trị nào của x thì \(\left(x^{2}+4\right)^{x-5}>\left(x^{2}+4\right)^{5 x-3}\)?

A. \(x>-\dfrac{1}{2}\)                       B. \(x<\dfrac{1}{2}\)                      C. \(x<-\dfrac{1}{2}\)                       D. \(x>\dfrac{1}{2}\)

Ví dụ 4: Cho \(3^{|\alpha|}<27\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(\left[ \begin{array}{l} \alpha < - 3\\ \alpha > 3 \end{array} \right.\)                     B. \(\alpha > 3\)                       C. \(\alpha < 3\)                           D.  \( - 3 < \alpha < 3\)       

Ví dụ 5: Nếu \((\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2 m-2}<\sqrt{3}+\sqrt{2}\) thì:

 A. \(m>\dfrac{3}{2}\)                        B. \(\mathrm{m}<\dfrac{1}{2}\)                     C. \(\mathrm{m}>\dfrac{1}{2}\)                        D. \(\mathrm{m} \neq \dfrac{3}{2}\)