Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ

1) Số phức.

  • Số phức  z là một biểu thức dạng z = a + bi với \(a,b \in \mathbb{R}\) và \({i^2} = - 1\)

i được gọi là đơn vị ảo, a là phần thực của số phức, b là phần ảo của số phức.

  • Tập các số phức kí hiệu là \(\mathbb{C}\)\(\mathbb{C} = {\rm{\{ }}a + bi|a,b \in \mathbb{R}\}\)

 Chú ý

Nếu a = 0, b ≠ 0,  z = bi thì z được gọi là số thuần ảo (số ảo).

Nếu b = 0, a ≠ 0,z = a thì z được gọi là số thực.

Số 0 = 0 + 0i vừa là số thực, vừa là số ảo.

  • Hai số phức z = a + bi, z’ = a’ + b’i bằng nhau khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} a = a'\\ b = b' \end{array} \right.\)
  • Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là \(\overline z = a - bi\)
  • Hai số phức z = a +bi và z’ = - a – bi là hai số phức đối nhau.

2) Các phép toán trên tập số phức

Cho hai số phức z = a + bi, z’ = a’ + b’i, khi đó:

  • \(z \pm z' = (a + bi) \pm (a' + b'i) = (a \pm a') + (b \pm b')i\)
  • \(z.z' = (a + bi)(a' + b'i) = (a.a' - b.b') + (a.b' + a'.b)i\)
  • Số phức nghịch đảo:\({z^{ - 1}} = \dfrac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z \)
  • \(\dfrac{z}{{z'}} = \dfrac{{z.\overline {z'} }}{{{{\left| {z'} \right|}^2}}}\)

Chú ý

\({i^{4k}} = 1,{i^{4k + 1}} = i,{i^{4k + 2}} = - 1,{i^{4k + 3}} = - i\),  \(k \in \mathbb{N}\)

II. Một số ví dụ thường gặp

1. Tính cộng, trừ số phức

Ví dụ 1: Cho hai số phức \({z_1} = 2 - 2i,{z_2} = - 3 + 3i\). Khi đó số phức \({z_1} - {z_2}\) là:

A. – 5i                                 B. 5 – 5i                     C. – 1 + i                                D. – 5 + 5i

Ví dụ 2: Cho ba số phức \({z_1} = 1 - 2i,{z_2} = 2 + 2i,{z_3} = - 3 - 7i\). Khi đó số phức \({z_1} - {z_2} + {z_3}\) là:

A. – 7i                                 B. – 4 – 11i                C. – 4 + 3i                              D. – 5 + 5i

Ví dụ 3: Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i,{z_2} = 2 - 3i\). Xác định phần thực và phần ảo của số phức \({z_1} + {z_2}\)

A. Phần thực bằng 5; phần ảo bằng 5               B. Phần thực bằng 3; phần ảo bằng 1

C. Phần thực bằng 3; phần ảo bằng – 1            D. Phần thực bằng 3; phần ảo bằng – 5

Ví dụ 4: Số phức z thỏa mãn \(\left| z \right| + z = 0\). Khi đó:

A. z là số thuần ảo                                                 B.    \(\left| z \right| = 1\)                 

C. Phần thực của z là số âm                                D. z là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0.

Ví dụ 5: Biết \(z + \overline z = 0\). Kết luận nào sau đây đúng?

A. z là số thuần ảo.                                                           

B. z là số thực                     

C. z có phần thực và phần ảo là hai số đối nhau

D. z luôn khác 0.                   

2. Tính nhân, chia số phức

Ví dụ 1: Cho số phức z = 1 – 3i. Tìm số phức \({\rm{w}} = iz + \overline z \)

 A. w = - 4 + 4i                       B. w = 4 + 4i              C. 4 – 4i                                 D. – 4 – 4i

Ví dụ 2: Cho hai số phức  \({z_1} = 2 + 3i,{z_2} = 3 - 2i\). Khi đó số phức \({z_1}.{z_2}\) là:

A.  5i                                      B. 12 + 5i                   C. – 5i                                    D. 6 – 6i

Ví dụ 3: Số phức nghịch đảo của số phức  z= 1 + 3i là:

A. \(\dfrac{1}{{10}}(1 - 3i)\)                         B. (1 - 3i)                  C. \(\dfrac{1}{{\sqrt {10} }}(1 + 3i)\)                       D.\(\dfrac{1}{{10}}(1 + 3i)\)

Ví dụ 4: Nếu số phức z = 2i + 3 thì \(\frac{z}{{\overline z }}\) bằng:

A. \(\dfrac{{5 - 12i}}{{13}}\)                               B. \(\dfrac{{5 + 12i}}{{13}}\)                C.\(\dfrac{{3 - 4i}}{7}\)                                    D. \(\dfrac{{5 + 6i}}{{11}} - 2i\)

Ví dụ 5: Tính \(z = \dfrac{{3 + 2i}}{{1 - i}} + \dfrac{{1 - i}}{{3 + 2i}}\)

A.  \(\dfrac{{23}}{{26}} + \dfrac{{61}}{{26}}i\)                          B. \(\dfrac{{23}}{{26}} + \dfrac{{63}}{{26}}i\)              C.   \(\dfrac{{15}}{{26}} + \dfrac{{55}}{{26}}i\)                        D. \(\dfrac{2}{{13}} + \dfrac{6}{{13}}i\)

3. Một số bài tập vận dụng

Ví dụ 1: Cho số phức \(z = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\). Số phức \(1 + z + {z^2}\) bằng:

A. \(2 - \sqrt 3 i\)                               B. 0                             C. \( - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\)                    D. 1

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức \(A = 1 + {(1 + i)^2} + {(1 + i)^4} + ... + {(1 + i)^{10}}\)

A. - 13 + 26i              B. 13 – 26i                 C. – 13 – 26i             D. 13 + 26i   

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức \(S = 1009 + i + 2{i^2} + 3{i^3} + ... + 2017{i^{2017}}\)

A.  \(\dfrac{3}{{25}} + \dfrac{4}{{25}}i\)            B.   \(\dfrac{3}{{25}} - \dfrac{4}{{25}}i\)             C. \( - \dfrac{3}{{25}} - \dfrac{4}{{25}}i\)        D. \(\dfrac{{ - 3}}{{25}} + \dfrac{4}{{25}}i\)

Ví dụ 5: Cho số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1\) và \({z_1} + {z_2} + {z_3} = 0\). Số phức \(z_1^2 + z_2^2 + z_3^2\) bằng:

A. A = 0                                 B. A = 1 + i                C. A = - 1                               D. A= 1