Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I – Kiến thức cơ bản cần nhớ.

Định nghĩa: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(K\) (\(K\) có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

  • Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là đồng biến trên \(K\) nếu: \(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right).\)
  • Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là nghịch biến trên \(K\) nếu: \(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right).\)

Định lý 1: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và có đạo hàm trên \(K\)

  • Nếu \(f'(x) > 0,\forall x \in K\) thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên \(K\).
  • Nếu \(f'(x) < 0,\forall x \in K\) thì hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên \(K\)​.

Định lý 2: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và có đạo hàm trên \(K\)

  • Nếu \(f'(x) \ge 0,\forall x \in K\) và \(f'(x) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm của \(K\) thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên \(K\).
  • Nếu \(f'(x) \le 0,\forall x \in K\) và \(f'(x) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm của \(K\) thì hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên \(K\).

Phương pháp:      

  • Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
  • Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x),\) tìm các điểm \({x_i}(i = 1,2,3,4.....)\) mà tại đó đạo hàm bằng \(0\) hoặc không xác định.
  • Bước 3: Lập bảng biến thiên (sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và xét dấu đạo hàm.
  • Bước 4:  Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

          + Các khoảng mà \(f'(x) > 0\) là các khoảng đồng biến của hàm số.

          + Các khoảng mà \(f'(x) < 0\) là các khoảng nghịch biến của hàm số.

II - Một số bài toán thường gặp.

Bài toán 1: Xét tính đồng biến - nghịch biến của hàm bậc ba - Hàm trùng phương.

Ví dụ 1: Hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x\) đồng biến trên khoảng nào?

      A. \(\mathbb{R}.\)                                  B. \(\left( { - \infty ;1} \right).\)                       C. \(\left( {1; + \infty } \right).\)                  D. \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Ví dụ 2: Hàm số \(y = {x^3} - {x^2} - x + 3\) nghịch biến trên khoảng nào?

      A. \(\left( { - \infty ; - \dfrac{1}{3}} \right).\)                 B. \(\left( {1; + \infty } \right).\)                      C. \(\left( { - \dfrac{1}{3};1} \right).\)                D\(\left( { - \infty ; - \dfrac{1}{3}} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Ví dụ 3: (Đề thi THPT QG 2017) Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

      A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right).\)

      B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right).\)

      C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right).\)

      D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right).\)

Ví dụ 4: Hàm số \(y = - {x^4} + 8{x^2} + 6\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

      A. \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right).\)                                              B. \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right).\)   

     C. \(\left( { - 2;2} \right).\)                                                                 D. \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0;2} \right).\)

Ví dụ 5: Cho hàm số \(y=f(x).\) Biết hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên.

                                             

      A. \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right).\)                    B. \(\left( { - \infty ;\dfrac{1}{3}} \right).\)                 C. \(\left( { - 2;\dfrac{1}{2}} \right).\)                  D. \(\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2}} \right).\)

Bài toán 2: Xét tính đơn điệu của hàm phân thức, hàm số chứa căn thức.

Ví dụ 1: Các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) là:

      A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)                                                                  B. \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)   

      C. \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)                                             D. \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 5}}{{x + 1}}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

      A. Hàm số luôn luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{- 1 \right\}.\)

      B. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)

      C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)

      D. Hàm số luôn luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{- 1 \right\}.\)

Ví dụ 3: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \sqrt {3 - 2x} .\)

      A. \(\mathbb{R}.\)                                 B. \(\left( {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right).\)                   C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{3}{2}} \right\}.\)                 D. \(\left( { - \infty ;\dfrac{3}{2}} \right).\)

Ví dụ 4: Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^3} - 3x} .\) Hãy chọn đáp án đúng:

      A. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1;0} \right).\)

      B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)

      C. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right).\)

      D. Tập xác định \(D = \left[ { - \sqrt 3 ;0} \right] \cup \left[ {\sqrt 3 ; + \infty } \right].\)

Ví dụ 5: Cho hàm \(y = \sqrt {{x^2} - 6x + 5} .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

      A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {5; + \infty } \right).\)

      B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right).\)

      C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right).\)

      D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right).\)