Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I - Kiến thức cơ bản cần nhớ.

  • Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left(x_{0} ; y_{0} ; z_{0}\right)\) và nhận \(\overrightarrow n =(a ; b ; c)\) làm VTPT là: \(a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)+c\left(z-z_{0}\right)=0\)
   ►  Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định một điểm và một vecto pháp tuyến.
  • Phương trình đoạn chắn: Mặt phẳng đi qua \(A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c)\) là: \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\)
  • Phương trình các mặt phẳng tọa độ: \((O x y) : z=0,(O y z) : x=0,(O x z) : y=0\)
  • Chùm mặt phẳng: Giả sử \((P) \cap(Q)=d\), trong đó \((P) : A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 ;(Q) : A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0\). Khi đó, mọi mặt phẳng chứa \(d\) đều có phương trình dạng: \(m\left(A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}\right)+n\left(A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}\right)=0\) với \(m^{2}+n^{2}>0.\)

II - Một số dạng toán thường gặp.

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng.

  • Mặt phẳng đi qua ba điểm.

\((P)\) đi qua \(A, B, C \Leftrightarrow(P)\) đi qua \(A\) và nhận \(\left[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}\right]\) làm VTPT.

  • Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng.

\((P)\) là mặt phẳng trung trực của \(AB\) nếu \((P)\) đi qua trung điểm \(I\) của \(AB\) và nhận \( \overrightarrow{A B}\) làm VTPT.

  • Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với mặt phẳng.

\((P)\) đi qua hai điểm\(M, N\) và song song với mặt phẳng \((Q)\) nếu \((P)\) đi qua \(M\) và nhận \(\left[\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{n_{Q}}\right]\) làm VTPT.

  • Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng.

\((P)\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với \((Q),(R)\) (không song song) nếu \((P)\) đi qua \(M\) và nhận \(\left[\overrightarrow{n_{Q}}, \overrightarrow{n_{R}}\right]\) làm VTPT.

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Trong không gian \(Oxyz\), lập phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng \((Q):5x-3y+2z+10=0.\)

      A. \((P):5x-3y+2z+2=0.\)                            B. \((P):5x-3y+2z+1=0.\)         

      C. \((P):5x-3y+2z=0\)                                   D. \(5x+3y-2z=0.\)

Ví dụ 2: Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng trung trực \((P)\) của đoạn thẳng \(AB\), biết \(A(2;3;-4),B(4;-1;0).\)

      A. \((P):3x+y-2z+3=0.\)                             B. \((P):3x+y-2x-3=0.\)           

      C. \((P):x-2y+2z-3=0.\)                            D. \((P):x-2y+2z+3=0.\)

Ví dụ 3: Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua ba điểm \(A(1;-2;4),B(3;2;-1),C(-2;1;-3)\).

      A. \((P):x-2y+4z-1=0.\)                            B. \((P):13x-29y-18z+1=0\).    

      C. \((P):x-2y+4z+1=0.\)                           D. \((P):13x-29y-18z-1=0.\)

Ví dụ 4: Trong không gian \(Oxyz\), lập phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với hai mặt phẳng \((Q):2x-y+3z-1=0\) và \((T):x+2y+z=0.\)

      A. \((P):7x-y-5z=0.\)                                 B. \((P):7x-y+5z=0.\)                 

      C. \((P):7x+y-5z=0.\)                                D. \((P):7x+y+5z=0.\)

Dạng 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Phương pháp:

  • Bước 1: Tìm một điểm nằm trên mặt phẳng này.
  • Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng còn lại.
  • Bước 3: Kết luận: khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \((P):2x+2y-z-11=0,(Q):2x+2y-z+4=0.\) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó bằng:

      A. \(3.\)                          B. \(5.\)                               C. \(7.\)                              D. \(9.\)

Ví dụ 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(6x-2y+3z-1=0\) và \(6x-2y+3z+4=0\) là:

      A. \(\dfrac{5}{{49}}.\)                      B. \(\dfrac{5}{{7}}.\)                              C. \(\dfrac{25}{{7}}.\)                           D. \(\dfrac{25}{{49}}.\)

VÍ dụ 3: Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left(Q_{1}\right) : 3 x-y+4 z+2=0\) và \(\left(Q_{2}\right) : 3 x-y+4 z+8=0\). Phương  trình mặt phẳng \((P)\) song song và cách đều hai mặt phẳng \(\left(Q_{1}\right)\) và \(\left(Q_{2}\right)\) là:

      A. \((P) : 3 x-y+4 z+10=0.\)                        B. \((P) : 3 x-y+4 z+5=0.\)

      C. \((P) : 3 x-y+4 z-10=0.\)                        D. \((P) : 3 x-y+4 y-5=0.\)

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hai mặt phẳng vuông góc, song song,...

Sử dụng các điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc,... để tìm tham số.

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai mặt phẳng \((P):x+2y-mz-9=0\) và \((Q):x+(2m+1)y+z-3=0\). Với giá trị nào của \(m\) thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau?

      A. \(m=-1.\)                     B. \(m=2.\)                       C. \(m=3.\)                       D. \(m=1.\)

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng có phương trình \(3x-my+2z-5+m=0\) và \((m+2)x-3y+(2m+1)z-6=0\). Có bao nhiêu khẳng định ĐÚNG trong các khẳng định dưới đây?

      A. \(1.\)                                B. \(2.\)                               C. \(3.\)                                D. \(4.\)

Khẳng định 1: Hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi \(m=3.\)

Khẳng định 2: Không có giá trị của \(m\) để hai mặt phẳng trùng nhau.

Khẳng định 3: Hai mặt phẳng cắt nhau với mọi giá trị của \(m\).

Khẳng định 4: Để hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì \(m=-\dfrac{4}{5}.\)

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai mặt phẳng \((P):x+y-z+1=0\) và \((Q):-2x+my+2z-2=0=0\). Với giá trị nào của \(m\) thì \((P)\) song song với \((Q)\)?

      A. \(\text{Không tồn tại m}.\)       B. \(m=2.\)                       C. \(m=-2.\)                       D. \(m=1.\)