Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I - Kiến thức cơ bản cần nhớ.

Cho mặt cầu \((S)\) tâm \(I\), bán kính \(R\) và đường thẳng \(\Delta\) (đi qua \(M\) và có VTCP \(\overrightarrow u \)). Khi đó:

  • \(\Delta \cap(S)=\emptyset \Leftrightarrow d(I, \Delta)>R\)
  • \(\Delta \cap(S)=\{H\} \Leftrightarrow d(I, \Delta)=R\)
  • \(\Delta \cap(S)=\{A, B\} \Leftrightarrow d(I, \Delta)<R\)

Với \(R^{2}=d^{2}(I, \Delta)+\dfrac{A B^{2}}{4}\) và \(A B=2 \sqrt{R^{2}-d^{2}(I, \Delta)}\)

II - Một số dạng toán thường gặp.

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

Phương pháp:

Cách 1: Sử dụng lý thuyết vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

  • Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và so sánh với \(R.\)
  • Bước 2: Kết luận dựa vào các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

Cách 2: Xét phương trình giao điểm của đường thẳng và mặt cầu.

  • Nếu phương trình vô nghiệm thì đường thẳng không có điểm chung với mặt cầu.
  • Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu.
  • Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d : \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-m}{2}\) và mặt cầu \((S) :(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-2)^{2}=9.\) Tìm \(m\) để đường thẳng \(d\) cắt mặt cầu \((S)\) tại hai điểm phân biệt \(E,F\) sao cho độ dài đoạn thẳng \(EF\) lớn nhất.

      A. \(m=1.\)                        B. \(m=-\dfrac{1}{3}\)                       C. \(m=0.\)                           D. \(m=\dfrac{1}{3}.\)

Ví dụ 2: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\) có phương trình \((x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=50\). Đường thẳng nào dưới đây tiếp xúc mặt cầu \((S).\)

      A. \(\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+3}{-1}.\)                                     B. Trục \(Ox.\)

      C. Trục \(Oy.\)                                                                D. Trục \(Oz.\)

Ví dụ 3: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\) có phương trình \((x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=9\) và đường thẳng \(d : x-1=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-4}{3}\)\((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B.\) Khi đó \(AB\) bằng:

      A. \(A B=\dfrac{\sqrt{126}}{7}.\)             B. \(A B=\dfrac{\sqrt{123}}{7}.\)                  C. \(A B=\sqrt{\dfrac{126}{7}}.\)              D. \(A B=\dfrac{\sqrt{129}}{7}.\)

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng cho trước.

Phương pháp:

  • Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu ở dạng tổng quát.
  • Bước 2: Xét phương trình giao điểm của \(d\) và \((S)\), điều kiện để mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng là phương trình giao điểm có nghiệm duy nhất.

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(I(3 ; 4 ;-2)\). Lập phương trình mặt cầu tâm \(I\) và tiếp xúc với trục \(Oz.\)

      A. \((S) :(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+2)^{2}=25.\)                  B. \((S) :(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+2)^{2}=4.\)

      C. \((S) :(x+3)^{2}+(y+4)^{2}+(z-2)^{2}=20.\)                  D. \((S) :(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+2)^{2}=5.\)

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A(1;-2;3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+3}{-1}\). Tính đường kính của mặt cầu \((S)\) có tâm \(A\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d.\)

      A. \(5 \sqrt{2}.\)                                   B. \(10 \sqrt{2}.\)                           C. \(2 \sqrt{5}\).                          D. \(4 \sqrt{5}\).

Ví dụ 3: Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A(1 ;-2 ; 3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(\left\{\begin{array}{l}{x=-1+2 t} \\ {y=2+t \quad(t \in \mathbb{R})} \\ {z=-3-t}\end{array}\right.\). Mặt cầu \((S)\) có tâm \(A\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\) có bán kính là:

      A. \(5\sqrt2.\)                                 B. \(10 \sqrt{2}.\)                               C. \(2 \sqrt{5}.\)                      D. \(4 \sqrt{5}.\)