Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I.Kiến thức cơ bản

Phương pháp giải

a. Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a< x < b). S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Công thức tính thể tích của B là:

                                                            \(\displaystyle V=\int_{a}^{b} S(x) d x\)

b. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường (C): y = f(x), trục hoành y = 0, hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trục Ox là:

                                                            \(\displaystyle V=\pi \int_{0}^{b} f^{2}(x) d x.\)

c. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh Ox là:

                                                           \(\displaystyle V=\pi \int_{a}^{b}\left|f^{2}(x)-g^{2}(x)\right| d x.\)

II. Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2 biết rằng diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x \(\in [0;2]\) là một phần tư đường tròn bán kính \(\sqrt2 x^2,\) ta được kết quả nào

A. \(V = 32\pi.\)                      B. \(V = 64\pi.\)                          C. \(V = \dfrac{16}{5}\pi.\)                          D. \(V =8\pi.\)

Ví dụ 2: Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình là x = 0 và x = 3, có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x \((0 \leq x \leq 3) \) là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và \(2 \sqrt{9-x^{2}}\), bằng:

A. \(V=3.\)                         B. \(V=18.\)                            C. \(V=20.\)                              D.\(V=22.\)

Ví dụ 3: Khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị (P): \(y=2 x-x^{2}\) và trục Ox có thể tích là:

A. \(V=\dfrac{16}{15} \pi.\)                   B.\(V=\dfrac{11}{15} \pi.\)                         C. \(V=\dfrac{12}{15} \pi.\)                           D. \(V=\dfrac{4}{15} \pi.\)

Ví dụ 4: Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=1-x^{2}, y=0, x=0\) và x = 2 khi quay quanh trục Ox bằng:

A. \(\dfrac{8 \pi \sqrt{2}}{3}.\)                        B. \(2\pi.\)                                   C. \(\dfrac{46 \pi}{15}.\)                                   D.\(\dfrac{5 \pi}{2}.\)

Ví dụ 5: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=1-x^{2}, y=0\) quanh trục Ox có kết quả dạng \(\dfrac{a \pi}{b}(a ; b \in \mathbb{Z}) ; \dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản, khi đó a + b có kết quả là:

A. \(11.\)                             B. \(17.\)                                    C. \(31.\)                                       D. \(25.\)