Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất là \(M'\) thuộc mặt phẳng ấy. Điểm \(M'\) được gọi là ảnh của điểm \(M\) qua phép biến hình.

Với mỗi điểm \(M\) ta xác định \(M'\) trùng với \(M\). Thì đây được gọi là phép biến hình đồng nhất.

 

2. Ký hiệu

Điểm \(M'\) là ảnh của \(M\) qua phép biến hình \(F\)

  • \(F(M) = M'\)

Hình H'  là ảnh của \(H\) qua phép biến hình \(F\) (Tập hợp nhiều điểm)

  • \(F(H) = H'\)

 

3. Ví dụ

Cho đường thẳng d. Ta xác định \(M'\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(d\).

  • Phép chiếu này được gọi là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng \(d\)

phep chieu vuong goc

 

II. Các bài toán của phép biến hình

Phương pháp

►Tìm điểm bất động của phép biến hình

Phương pháp: \(M' = F(M)\) . Điểm bất động thì M' trùng với M khi đó:  \(\left\{ \begin{array}{l} x' = x\\ y' = y \end{array} \right.\)

► Xác định ảnh của một một điểm bất kì phép biến hình

Gọi \(M(x;y)\) là điểm năm trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có \(M'=F(M)\).
Với \(M'(x';y')\) Sao cho \(\left\{ \begin{array}{l} x' = g(x;y)\\ y' = h(x;y) \end{array} \right.\) Khi đó ta sẽ tìm tọa độ của \(M'(x';y')\)

 

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho phép biến hình \(f\) có biểu thức tọa độ là:

\(\left\{ \begin{array}{l} x' = 2x + y - 1\\ y' = x + 2y - 1 \end{array} \right.\). Tìm các điểm bất động của phép biến hình \(f\).

Ví dụ 2: Gọi \(f\) là phép biến hình điểm \(M\) thành điểm \(M'\) được xác định bởi \(\overrightarrow {OM'} = \overrightarrow {OM} \) . Với O là điểm cố định. Hỏi \(f\) có mấy điểm sao cho \(M=f(M)\)

Ví dụ 3: Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình \(f\) biến \(M(x;y)\) thành \(M'(x';y')\) được xác định bởi: 

\(\left\{ \begin{array}{l} x' = x\\ y' = 2y \end{array} \right.\). Tìm điểm qua phép biến hình \(f\) vẫn là chính nó.

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm \(M(1;-2)\). M' là ảnh của M qua phép biến hình f có biểu thức tọa độ:

\(\left\{ \begin{array}{l} x' = 2x + y - 1\\ y' = x - y + 2 \end{array} \right.\). Tìm tọa độ của \(M'(x';y')\)

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng d có phương trình \(x-y+1=0\).
Tìm ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép biến hình có biểu thức tọa độ là:

\(\left\{ \begin{array}{l} x' = 2x - y\\ y' = 3x - 2y \end{array} \right.\)