Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I - Kiến thức cơ bản cần nhớ.

Bài toán 1: Gọi \(P(n)\) là một mệnh đề chứa biến \(n(n\in\mathbb{N}^*).\) Chứng minh \(P(n)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n\in\mathbb{N}^*.\)

Phương pháp quy nạp toán học:

  • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề \(P(n)\) đúng với \(n=1.\)
  • Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương \(n=k\) tùy ý \((k\ge1).\)
  • Bước 3: Chứng minh rằng mệnh đề đúng với \(n=k+1.\)

Bài toán 2: Gọi \(P(n)\) là một mệnh đề chứa biến \(n(n\in\mathbb{N}^*).\) Chứng minh \(P(n)\) đúng với mọi số nguyên dương \(n\ge{p}\).

Phương pháp quy nạp toán học:

  • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với \(n=p.\)
  • Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương \(n=k\) tùy ý (\(k\ge{p}\)).
  • Bước 3: Chứng minh rằng mệnh đề đúng với \(n=k+1.\)

II - Một số dạng toán thường gặp.

Dạng 1: Chứng minh mệnh đề.

Phương  pháp: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học đã nêu ở trên.

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\), ta có: \({\rm{1 + 2 + 3 + }}...{\rm{ + n = }}\dfrac{{n(n + 1)}}{2}.\)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\), ta có: \(n^3+3n^2+5n\) chia hết cho \(3.\)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\), ta có: \(2^n>2n+1\) với \(n\ge3.\)

Dạng 2: Tìm công thức tổng quát cho tổng dãy số.

Phương pháp:

  • Bước 1: Dự đoán công thức tổng quát cho tổng dãy số.
  • Bước 2: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức vừa dự đoán.

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Kí hiệu \(k!=k(k-1)...2.1,\forall{k}\in\mathbb{N}^*\). Với \(n\in\mathbb{N}^*\), đặt \(S_n=1.1!+2.2!+...+n.n!\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

      A. \(S_n=2.n!.\)                  B. \(S_n=(n+1)!-1.\)       C. \(S_n=(n+1)!.\)             D. \(S_n=(n+1)!+1.\)

Ví dụ 2: Cho tổng \({S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + .... + \dfrac{1}{{n(n + 1)}}\). Mệnh đề nào đúng?

      A. \({S_n} = \dfrac{1}{{n + 1}}.\)              B. \({S_n} = \dfrac{n}{{n + 1}}.\)                C. \({S_n} = \dfrac{n+1}{{n + 2}}.\)                D. \({S_n} = \dfrac{n}{{n + 2}}.\)

Ví dụ 3: Với mọi số nguyên dương \(n\), tổng \(2+5+8+....+(3n-1)\) là:

      A. \(\dfrac{{n(3n + 1)}}{2}.\)                 B. \(\dfrac{{n(3n - 1)}}{2}.\)                  C. \(\dfrac{{n(3n + 2)}}{2}.\)                  D. \(\dfrac{{3n^2}}{2}.\)