Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I - Kiến thức cơ bản cần nhớ.

a) Định nghĩa:

  • Hàm số \(u\) xác định trên tập hợp các số nguyên dương \(\mathbb{N}^*\) được gọi là một dãy số (dãy số vô hạn).
  • Dãy số xác định trên tập hợp gồm \(m\) số nguyên dương đầu tiên ta cũng gọi là dãy số (dãy số hữu hạn).
  • Các số hạng trong dãy: \(u_1=u(1),u_2=u(2),....,u_n=u(n),....\)

Kí hiệu: Người ta thường kí hiệu dãy số \(u=u(n)\) bởi \((u_n)\) và gọi \(u_n\) là số hạng tổng quát của dãy số đó.

b) Cách cho một dãy số:

  • Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.

Ví dụ: Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n=\dfrac{1}{n+2}.\)

  • Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (Cho dãy số bằng quy nạp).

Ví dụ: Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n=2.u_{n-1}.\)

c) Dãy số tăng, dãy số giảm:

Định nghĩa:

  • Dãy số \((u_n)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \(u_{n+1}>u_n\) với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\)
  • Dãy số \((u_n)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \(u_{n+1}<u_n\) với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\)

d) Dãy số bị chặn:

  • Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \(u_n\le{M},\forall{n}\in\mathbb{N}^*\)
  • Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho \(u_n\ge{m},\forall{n}\in\mathbb{N}^*\)
  • Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M,m\) sao cho \(m\le{u_n}\le{M},\forall{n}\in\mathbb{N}^*\).

II - Một số dạng toán thường gặp.

Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số.

Phương pháp: Sử dụng công thức tổng quát hoặc công thức truy hồi để tìm số hạng của dãy.

Một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho dãy số \((u_n),\) biết \({u_n} = \dfrac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 1}}\). Ba số hạng đầu của dãy số lần lượt là:

      A. \(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{5};\dfrac{{17}}{{10}}.\)                  B. \(-1;\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{5}.\)                 C. \(\dfrac{7}{5};\dfrac{17}{10};\dfrac{31}{17}.\)              D. \(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{5};\dfrac{{31}}{{17}}.\)

Ví dụ 2: Cho dãy số \((u_n)\), biết \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = - 1\\ {u_{n + 1}} = {u_n} + 3 \end{array} \right.\) với \(n\ge{1}\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đã cho lần lượt là:

      A. \(-1;2;5.\)                     B. \(2;5;8.\)                      C. \(4;7;10.\)                    D. \(-1;3;7.\)

Ví dụ 3: Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n=(-1)^n.2n.\) Mệnh đề nào sau đây sai?

     A. \(u_1=-2.\)                     B. \(u_2=4.\)                    C. \(u_3=-6.\)                  D. \(u_4=-8.\)

Dạng 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Phương pháp:

  • Bước 1: Liệt kê các số hạng của dãy số và dự đoán công thức tổng quát.
  • Bước 2: Chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp toán học.

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho dãy số \((u_n)\), được xác định \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = - 2\\ {u_{n + 1}} = - 2 - \dfrac{1}{{{u_n}}} \end{array} \right.\). Số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số là số hạng nào dưới đây?

      A. \({u_n} = \dfrac{{ - n + 1}}{n}.\)          B. \({u_n} = \dfrac{{ n + 1}}{n}.\)              C. \({u_n} = -\dfrac{{ n + 1}}{n}.\)       D. \({u_n} = -\dfrac{{ n }}{n+1}.\)

Ví dụ 2: Cho dãy số \((x_n)\) xác định bởi \(x_1=5\) và \(x_{n+1}=x_n+n,\forall{n}\in\mathbb{N}^*\). Số hạng tổng quát của dãy số \((x_n)\) là:

      A. \({x_n} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2}.\)                                         B. \({x_n} = \dfrac{{5{n^2} - 5n}}{2}.\)

      C. \({x_n} = \dfrac{{{n^2} + n + 10}}{2}.\)                                         D. \({x_n} = \dfrac{{{n^2} +3 n + 12}}{2}.\)

Ví dụ 3: Cho dãy số \((u_n)\), được xác định \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\ {u_{n + 1}} = 2 u_n+3 \end{array} \right.\). Số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số là số hạng nào dưới đây?

      A. \({u_n} = {2^{n + 1}} - 3\).          B. \({u_n} = {2^{n + 1}} + 3\).           . C. \({u_n} = {2^{n }} + 3\).               D. \({u_n} = 2^n - 3.\)

Dạng 3: Xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số.

Phương pháp: Sử dụng định nghĩa dãy số tăng, giảm, bị chặn của dãy số để xét.

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Trong các dãy số \((u_n)\) cho bởi số hạng tổng quát \(u_n\) sau, dãy số nào là dãy số tăng?

     A. \({u_n} = \dfrac{2}{{{3^n}}}.\)                  B. \({u_n} = \dfrac{3}{{{n}}}.\)                      C. \(u_n=(-2)^n.\)                 D. \(u_n=2^n.\)

Ví dụ 2: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là dãy số giảm?

      A. Dãy \((a_n)\), với \({a_n} = {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^n}.\)                          B. Dãy \((b_n)\), với \({b_n} = \dfrac{n^2+1}{n}.\)

      C. Dãy \((c_n)\), với \({c_n} = \dfrac{1}{n^3+1}.\)                             D. Dãy \((d_n)\), với \({d_n} =3.2^n.\)

Ví dụ 3: Cho dãy số \((x_n)\) với \({x_n} = \dfrac{{an + 4}}{{n + 2}}.\) Dãy số \((x_n)\) là dãy số tăng khi:

      A. \(a=2.\)                      B. \(a>2.\)                         C. \(a<2.\)                           D. \(a>1.\)