Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I - Kiến thức cơ bản cần nhớ.

Định nghĩa:

  • Dãy số \((u_n)\) là cấp số cộng \(\Leftrightarrow {u_n} = {u_{n - 1}} + d,\forall n \ge 2.\)
  • Số \(d\) được gọi là công sai của cấp số cộng.

Tính chất:

  • \({u_k} = \dfrac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2},\forall k \ge 2.\)
  • Số hạng tổng quát: \(u_n=u_1+(n-1)d.\)
  • Tổng \(n\) số hạng đầu: \({S_n} = {u_1} + {u_2} + .... + {u_n} = \dfrac{{({u_1} + {u_n}).n}}{2} = \dfrac{{\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right].n}}{2}\)

II - Một số dạng toán thường gặp.

Dạng 1: Chứng minh dãy số là cấp số cộng.

Phương pháp:

  • Bước 1: Tính \(d=u_n-u_{n-1},\forall{n}\ge2.\)
  • Bước 2: Kết luận:

          + Nếu \(d\) là số không đổi thì dãy \((u_n)\) là cấp số cộng.

          + Nếu \(d\) thay đổi theo \(n\) thì dãy số \((u_n)\) không là cấp số cộng.

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

      A. \(-3;0;3;6;9;12.\)             B. \(12;13;15;16;18;19.\)        C. \(5;2;-1;-4;-7.\)           D. \({\rm{ - }}\dfrac{7}{2}; - \dfrac{5}{2}; - 2; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}.\)

Ví dụ 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

      A. \(u_n=-4n+9.\)               B. \(u_n=-2n+19.\)               C. \(u_n=-2n-21.\)           D. \(-2^n+15.\)

Ví dụ 3: Khẳng định nào sau đây là sai?

      A. Dãy số \( - \dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2};1;\dfrac{3}{2};....\) lầ một cấp số cộng: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = - \dfrac{1}{2}\\ d = \dfrac{1}{2} \end{array} \right.\)

      B. Dãy số \( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2^2};\dfrac{1}{2^3};....\) lầ một cấp số cộng: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = \dfrac{1}{2}\\ d = \dfrac{1}{2};n=3 \end{array} \right.\)

      C. Dãy số \(-2;-2;-2;....\) lầ một cấp số cộng: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = - {2}\\ d = 0 \end{array} \right.\)

      D. Dãy số \(0,1;0,01;0,001;0,0001;...\) không phải là một cấp số cộng.

Dạng 2: Tìm các yếu tố của cấp số cộng.

  • Phương pháp tìm công sai của cấp số cộng: Sử dụng các tính chất của cấp số cộng, biến đổi để tính công sai của cấp số cộng.
  • Phương pháp tìm số hạng của cấp số cộng: Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \( {u_n} = {u_{ 1}} + (n-1)d.\)

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho một cấp số cộng có \(u_1=-3;u_6=27.\) Tìm \(d\)?

      A. \(d=5.\)                             B. \(d=6.\)                             C. \(d=7.\)                             D. \(d=8.\)

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có: \(u_1=-0,1;d=0;1\). Số hạng thứ \(7\) của cấp số cộng này là:

      A. \(1,6.\)                                B. \(6.\)                                    C. \(0,5.\)                                D. \(0,6.\)

Ví dụ 3: Cho cấp số cộng \((u_n)\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_5} + 3{u_3} - {u_2} = - 21\\ 3{u_7} - 2{u_4} = - 34 \end{array} \right.\). Tìm số hạng thứ 100 của cấp số đã cho.

      A. \(u_{100}=-243.\)                  B. \(u_{100}=-295.\)                   C. \(u_{100}=-231.\)                  D. \(u_{100}=-294.\)

Ví dụ 4: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(S_n=3n^2-2n.\) Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) của cấp số cộng đó.

      A. \(u_1=2;d=7.\)                B. \(u_1=1;d=6.\)                  C. \(u_1=1;d=-6.\)                D. \(u_1=2;d=6.\)

Dạng 3: Tìm cấp số cộng.

Phương pháp chung: 

  • Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu \(u_1\), công sai \(d.\)
  • Tìm công thức cho số hạng tổng quát \( {u_n} = {u_{ 1}} + (n-1)d.\)

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng \((u_n)\) xác định bởi \(u_3=-2\) và \(u_{n+1}=u_n+3,\forall{n}\in\mathbb{N}^*.\) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

      A. \(u_n=3n-11.\)               B. \(u_n=3n-8.\)                      C. \(u_n=2n-8.\)                D. \(u_n=n-5.\)          

Ví dụ 2: Cho dãy số \((u_n)\) có: \(u_1=-3;d=\dfrac{1}{2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?

      A. \({u_n} = - 3 + \dfrac{1}{2}(n + 1).\)    B. \({u_n} = - 3 + \dfrac{1}{2}n - 1.\)         C. \({u_n} = - 3 + \dfrac{1}{2}(n -1).\)      D. \({u_n} = n\left( { - 3 + \dfrac{1}{4}(n - 1)} \right).\)

Ví dụ 3: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_3=15\) và \(d=-2.\) Tìm \(u_n.\)

      A. \(u_n=-2n+21.\)            B. \(u_n=-3n-17.\)                C. \(u_n=-\dfrac{3}{2}n+12.\)            D. \(u_n=\dfrac{3}{2}n^2-4.\)                

Dạng 4: Tính tổng hữu hạn.

Phương pháp: Sử dụng công thức \({S_n} = {u_1} + {u_2} + .... + {u_n} = \dfrac{{({u_1} + {u_n}).n}}{2} = \dfrac{{\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right].n}}{2}\)

Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_4=-12;u_{14}=18.\) Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

      A. \(S=24.\)                       B. \(S=-24.\)                              C. \(S=26.\)                           D. \(S=-25.\)

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_5=-15;u_{20}=60.\) Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

      A. \(S=200.\)                     B. \(S=-200.\)                           C. \(S=250.\)                          \(S=-25.\)

Ví dụ 3: Số hạng tổng quát của một cấp số cộng là \(u_n=3n+4\) với \(n\in\mathbb{N}^*\). Gọi \(S_n\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

      A. \({S_n} = \dfrac{{{3^n} - 1}}{2}.\)             B. \({S_n} = \dfrac{7.({{3^n} - 1})}{2}.\)                  C. \({S_n} = \dfrac{{{3n^2}+5n}}{2}.\)             D. \({S_n} = \dfrac{{{3n^2}+11n}}{2}.\)