Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

I.Kiến thức cơ bản cần nhớ

1. Hoán vị

- Định nghĩa: Kết quả của sự sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của tập hợp A.

Số các hoán vị của A được kí hiệu là Pn, ta có:

                                          \(P_n=n(n-1)...2.1=n!.\)

- Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:

  •     Tất cả n phần tử đều phải có mặt.
  •     Mỗi phần tử xuất hiện một lần.
  •     Có thứ tự giữa các phần tử.

2. Chỉnh hợp

- Định nghĩa: Kết quả của việc lấy k phần tử của A (1 ≤  k ≤  n) và xếp theo thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.

Số các chỉnh hợp chập k củan phần tử được kí hiệu là \(\displaystyle A_n^k\)  , ta có

                                          \(\displaystyle A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)...(n-k-1).\)

      (ở đây quy ước 0! = 1).

- Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi

  •     Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần
  •     k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự.

3. Tổ hợp

- Định nghĩa: Một tập hợp con gồm k phần tử của A (1 ≤  k ≤  n) được gọi là một tổ hợp chấp k của n phần tử. Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

Số các tổ hợp chập k của n phần tử đượckí hiệu là \(\displaystyle C_n^k\), ta có

                                       \(\displaystyle C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}.\)

- Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi

  •     Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần
  •     Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn.

II.Một số ví dụ minh họa

1.Bài toán đếm

Ví dụ 1: Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau?

A. 804.                             B. 408.                            C. 480.                                   D. 840.

Ví dụ 2: Cho các số 1,2,4,5,7 có bao nhiêu cách tạo ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho:

A. 12.                               B. 24.                              C. 42.                                     D. 21.

Ví dụ 3: Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?

A. 192.                             B. 96.                              C. 129.                                   D. 291.

Ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số sao cho chữ số đằng sau lớn hơn chữ số đằng trước?

A. 84.                              B. 60480.                         C. 84600.                                D. 75600.

Ví dụ 5: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số khác đôi một trong đó có chữ số 0 nhưng không có chữ số 1?

A. 12000.                        B. 23300.                          C. 33600.                               D.6720.

2. Bài toán xếp vị trí, cách chọn, phân công công việc.

Ví dụ 1: Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 HS khối 12, 6 HS khối 11 và 5 HS khối10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 HS được chọn

A.1947.                          B. 43758.                          C. 41811.                                D. 11814.

Ví dụ 2: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.

A. 23.                            B. 32.                                C. 64.                                    D. 46.

Ví dụ 3: Trong một môn học, Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó ,10 câu trung bình và 15 câu dễ .Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau,sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 câu ( khó, dễ, Trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2?

A. 58675.                      B. 56875.                            C. 58657.                              D. 60253.

Ví dụ 4: Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần)?

A. 3991680.                   B. 12!.                                C. 35831808.                         D. 7!.

Ví dụ 5: Một hộp có 14 quả đỏ, 12 quả vàng, 9 quả xanh. Số cách lấy ra 4 quả sao cho 4 quả lấy ra có đủ ba màu là:

A. 24912.                      B. 24192.                            C. 29412.                              D. 29124.

3.Bài toán sắp xếp theo hàng

Ví dụ 1: Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam.Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 3 học sinh nữ ngồi kề nhau .

A. 12.                           B. 24.                                  C. 13.                                   D. 42.

Ví dụ 2: Một nhóm học sinh có 7 bạn nam và 3 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 bạn này trên một hàng ngang biết hai vị trí đầu và cuối hàng là các bạn nam và không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau?

A. 344000.                    B. 100800.                           C. 604800.                            D. 120120.

Ví dụ 3: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ người cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp biết bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau?

A. 1036800.                  B. 1202540.                         C. 136000.                             D. 518400.

Ví dụ 4: Có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách để sắp xếp 10 học sinh này ngồi vào một bàn tròn 10 ghế?

A. 10!.                          B. 9!.                                  C. 2.10!.                                 D. 2.9!.

Ví dụ 5: Có 4 bạn nữ và 4 bạn nam cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ nhau là:

A. 142.                         B. 143.                               C.144.                                    D. 145..

4. Bài toán tổ hợp liên quan đến hình học

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng song song d1,d2. Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, trên d2 lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 điểm vừa nói trên.

A. 675.                        B. 1050.                              C. 1725.                                 D. 708750.

Ví dụ 2: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là:

A. 120.                        B. 110.                                C. 100.                                   D. 210.

Ví dụ 3: 12 đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?

A.12.                          B. 66.                                  C. 132.                                   D. 144.

Ví dụ 4: Cho đa giáo đều 12 cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đường chéo?

A. 121.                       B. 66.                                  C. 132.                                   D. 54.

Ví dụ 5: Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đều đó có nhiêu cạnh?

A. 5.                          B. 6.                                    C. 7.                                       D. 8.